10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность.

Числовая и единичная окружность

В средней школе мы уже познакомились с координатной, или числовой прямой. Так называют абстрактную прямую, на которой выбрана точка отсчета, определен единичный отрезок, а также задано направление, в котором следует откладывать положительные числа. С помощью координатной прямой удается наглядно представлять сложение и вычитание как положительных, так и отрицательных чисел, решать задачи, связанные с перемещением по прямой, и делать многое другое.

Однако порою приходится рассматривать задачи, связанные с движением по окружности, а также складывать и вычитать углы. Здесь математикам помогает другая абстракция – числовая окружность. Пусть два гонщика (Вася и Петя) едут по круговой трассе, чья протяженность составляет 1 км. За минуту Вася проехал 1250 м, а Петя преодолел только 500 м. Попытаемся показать их положение графически.

Построим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат длиной 1 км. Будем считать, старт находится в крайней правой точке трассы, на пересечении оси Ох и окружности. Также условимся, что гонщики едут против часовой стрелки. Тогда получим такую картинку:

Петя проедет ровно половину окружности и окажется в крайней левой точке трассы. Вася же за минуту успел сделать полный круг (1 км) и проехать ещё 250 м, а потому оказался в верхней точке.

Теперь предположим, что Петя стоит на месте, а Вася проехал ещё 250 м (четверть круга). В результате оба пилота оказались в одной точке, но проехали они разное расстояние! Получается, что по положению гонщика невозможно однозначно определить, сколько именно метров он проехал.

Заметим, что очень удобно характеризовать положение точки на числовой окружности с помощью угла. Достаточно соединить точку отрезком с началом координат. Полученный отрезок образует с прямой Ох некоторый угол α:

В тригонометрии предпочитают использовать особую числовую прямую, радиус которой равен единице. По ряду причин, которые станут ясны чуть позже, с ней очень удобно работать. Такую фигуру называют единичной окружностью.

Выглядит единичная окружность так:

Только усвоенная информация становится знанием. В этом вам помогут онлайн-курсы

Зачет по теме: «Числовая окружность 10 класс»

Зачетная работа по алгебре в 10 классе Числовые функции. Числовая окружность.

Вариант – 1.

В1. Вычислите + , если

В2. Найдите область определения функции

В3. Укажите количество целых чисел из области определения функции .

В4. Определите наименьшее целое значение функции .

В5. Вычислите , где корень уравнения .

В6. При каких значениях функция является возрастающей?

В7.Приведите пример функции, ограниченной снизу.

В8. Укажите наибольшее значение функции на отрезке [1;10].

В9. Вычислите , если обратная для функции

В10. Какой четверти числовой окружности принадлежит точка М(2).

В11. Первая четверть разделена точкой М в отношении 4:7. Чему равна длина дуги МВ?

С1. Найдите область определения функции

С2. Укажите промежутки монотонности функции

С3. При каких значениях уравнение имеет четыре различных корня, где .

Зачетная работа по алгебре в 10 классе

Числовые функции. Числовая окружность.

Вариант – 2.

В1. Вычислите , если

В2. Найдите область определения функции

В3. Укажите количество целых чисел из области определения функции .

В4. Определите наибольшее целое значение функции .

В5. Вычислите , где корень уравнения .

В6. При каких значениях функция является убывающей?

В7. Приведите пример функции, ограниченной сверху.

В8. Укажите наименьшее значение функции на отрезке [0;1].

В9. Вычислите , если обратная для функции

В10. Какой четверти числовой окружности принадлежит точка М(3,5).

В11. Третья четверть разделена точкой Р в отношении 1:8. Чему равна длина дуги: СР?

С1. Найдите область определения функции

С2. Укажите промежутки монотонности функции

С3. При каких значениях уравнение имеет четыре различных корня, где .

Зачетная работа по алгебре в 10 классе Числовые функции. Числовая окружность.

Вариант – 3.

В1. Вычислите + , если

В2. Найдите область определения функции

В3. Укажите количество целых чисел из области определения функции .

В4. Определите наименьшее целое значение функции .

В5. Вычислите , где корень уравнения .

В6. При каких значениях функция является возрастающей?

В7.Приведите пример функции, ограниченной снизу.

В8. Укажите наибольшее значение функции на отрезке [0;7].

В9. Вычислите , если обратная для функции

В10. Какой четверти числовой окружности принадлежит точка М(-2,4).

В11. Первая четверть разделена точкой М в отношении 5:6. Чему равна длина дуги МВ?

С1. Найдите область определения функции

С2. Укажите промежутки монотонности функции

С3. При каких значениях уравнение имеет три различных корня, где .

Зачетная работа по алгебре в 10 классе Числовые функции. Числовая окружность.

Откладывание углов на единичной окружности

Положение каждой точки на единичной окружности можно указать с помощью угла. Пусть надо найти точку, соответствующую углу 60°. Для этого просто строим угол следующим образом:

Углы, которые откладывают на единичной окружности, называют углами поворота. В данном случае можно утверждать, что точке А соответствует угол поворота, равный 60°.

Отложить можно и угол, больший 90° и даже 180°. Выглядеть они будут примерно так:

Углы можно складывать друг с другом и вычитать. Предположим, нам надо построить угол, равный сумме углов 120° и 110°. Для этого сначала совершить поворот на 120°, а потом от полученного отрезка отложить ещё один угол в 110°:

Ясно, что возможно построить любой угол в диапазоне от 0° до 360°. А можно ли отложить угол, который будет больше 360°? В обычной планиметрии мы не работаем с такими углами, однако в тригонометрии они существуют. Действительно, мы же можем, например, сложить углы 250° и 140°. В итоге получится 250 + 140 = 390°:

В результате мы совершили полный оборот (360°) и вдобавок повернули отрезок ещё на 30°. Получается, что углам в 390° и 30° соответствует одна и та же точка.

Углы можно и вычитать друг из друга. Для этого вычитаемый угол надо отложить в противоположном направлении – не против часовой, а по часовой стрелке. Например, вычитая из 150° угол в 70°, придем в точку, соответствующую 150 – 70 = 80°:

Из арифметики мы помним, что вычитание можно заменить прибавлением противоположного (то есть отрицательного) числа:

a– b = a + (– b)

Получается, что отложив угол 70° по часовой стрелке, мы прибавили к 150° отрицательный угол (– 70°). То есть на единичной окружности можно откладывать отрицательные углы! Для их получения поворот надо осуществлять по часовой стрелке. Например, угол – 60° будет выглядеть так:

Итак, мы можем откладывать и положительные, и отрицательные углы, а также углы, большие 360°. Вообще в тригонометрии угол может быть равен любому действительному числу. На единичной окружности можно отложить углы величиной 1000°, 1000000° и (– 999999999°) и любые другие, самые большие и самые малые углы. В этом смысле единичная окружность схожа с координатной прямой. Разница лишь в том, что на прямой разным числам всегда соответствуют разные точки, а на окружности разным углам могут соответствовать одни и те же точки.

Ещё раз отметим, что один полный оборот равен 360°. Если отложить на окружности произвольную точку А, которой соответствует угол α, а потом добавить к α ещё 360°, то мы попадем в ту же самую точку:

С точки зрения тригонометрии те углы поворота, которые соответствуют одной точке на единичной окружности, равны друг другу. Поэтому можно записать формулу:

α + 360° = α

Естественно, при вычитании 360° из угла мы тоже совершим полный поворот, только по часовой стрелке, поэтому верна и другая запись:

α – 360° = α

Угол, не изменится и в том случае, если мы совершим не один, а два полных оборота, то есть добавим к нему 2•360° = 720°. Можно добавлять к углу два, три, четыре полных поворота, но он не изменится от этого. Обозначим буквой n количество оборотов, которые мы добавляем к углу. Естественно, что n – целое число. Справедливой будет формула:

α + n•360° = α

Например, верны следующие равенства:

15° + 3•360° = 15° + 1080° = 1095°

100° + 10•360° = 100° + 3600° = 3700°

1000° = 1000° – 2•360° = 1000° – 720° = 280°

Очевидно, что любой точке на окружности соответствует какой-то угол α из промежутка 0 ≤ α < 360°. Конечно, с такими углами работать удобнее, поэтому важно уметь переходить от «больших» углов к тем, которые ограничены диапазоном 0°– 360°.

Например, пусть есть угол в 600°. Необходимо выразить его «нормальным» углом из диапазона 0°– 360°. Для этого просто вычтем из него 360°:

600° = 600° – 360° = 280°.

Если дан угол в 1200°, то из него 360° придется вычитать уже трижды:

1200° = 1200° – 3•360° = 1200° – 1080° = 120°.

Как узнать, сколько полных поворотов надо вычесть из угла, чтобы он попал в нормальный диапазон? Для этого достаточно просто поделить угол на 360°.

Задание. Замените угол 10000° на угол α из промежутка 0 ≤ α < 360°.

Решение. Поделим 10000 на 360. Делить будем :

10000:360 = 27 (280 в остатке)

Этот расчет показывает, что число 10000 можно представить в виде:

10000° = 280° + 27•360°

Величину 27•360° можно смело отбросить, ведь она соответствует 27 полным оборотам против часовой стрелки.

Ответ: 280°.

Несколько сложнее выглядит преобразование отрицательных углов, ведь при делении с остатком получится угол, попадающий в диапазон – 360° ≤ α < 0°. Поэтому после деления необходимо добавить к углу ещё один поворот, чтобы получилась положительная величина.

Задание. Приведите угол (– 10000°) к углу из диапазона 0 ≤ α < 360°.

Решение. Снова поделим (– 10000°) на 360° с остатком:

– 10000:360 = – 27 (– 280 в остатке)

Получили угол – 280°. Но он не попадает в требуемый диапазон. Однако можно просто добавить к нему 360°:

– 280° + 360° = 80°

Ответ: 80°.

Конспект урока по Алгебре «Числовая окружность» 10 класс

Конспект урока по алгебре

Учитель: Шиванова Сания Ягутовна

Предмет: алгебра и начала анализа

Тема урока: Числовая окружность.

Класс: 10.

Цели урока:

1. Формирование представлений учащихся о числовой окружности. Выявить принципиальное отличие числовой окружности от числовой прямой. Рассмотреть два макета числовой окружности.
2. Развитие умений выполнять перенос знаний в новую ситуацию, умений наблюдать и делать выводы после наблюдений.
3. Расширение кругозора учащихся, приобретение опыта нестандартного подхода к решению возникающих проблем.

Оборудование: 9 ученических ПК, АРМ учителя, интерактивная доска Interwrite Board (программа Notebook 10).

Учебное пособие: Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2ч. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. 4-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2007.

Ход урока

1. Оргмомент.

   (Приветствие, сообщение целей и плана урока).

1. Математическая разминка

   (на данном этапе урока используется программа Notebook 10).

• Устный счет (действия с корнями и степенями)

• Математические анаграммы (терминологическая разминка).

1. Проверка домашнего задания:

• Как без транспортира разделить дугу окружности 90 на две равные части, на три равные части?

Учащиеся работают на окружности, расположенной на интерактивной доске (страница подготовлена учителем заранее).

Используя клетки, построить биссектрисы углов, тем самым дуги четвертей окружности будут разделены на две равные части

• Как точно построить отрезок длиной единиц, используя линейку с ценой деления 1 мм, 1 см, 1 дм, т.д.?

Учащиеся работают на клетчатом листе, расположенном на интерактивной доске (страница подготовлена учителем заранее).

1. Введение новой темы.

Очень часто в жизни случаются ситуации, когда нужно что-либо усовершенствовать, модернизировать, улучшить. И почти в каждом конкретном случае лучшим решением является такое, когда предлагается что-то принципиально новое, кардинальным образом отличающееся от привычного, т.е. когда находят нестандартный подход к ситуации. Например, сегодня мы видели, как можно неизмеримый отрезок длиной построить совершенно точно, используя только линейку.

Сегодня на уроке мы познакомимся с нестандартным подходом к модели числовой прямой.

Посмотрим на числовую прямую: отмечено начало отсчета, положительное и отрицательное направление, единичный отрезок.

Как отметить на числовой прямой точку с координатой 4; π; 2π; …, 2010?

Двигаясь в положительном направлении по числовой прямой, мы можем попасть в каждую из данных точек, но при этом мы понимаем, что для точки 2010 нужно выбрать более мелким единичный отрезок.

А если будем бесконечно увеличивать число? Мы перестанем различать точки на числовой прямой вследствие их слияния, поэтому точки с очень большими координатами «увидеть» на числовой прямой проблематично.

Спортсмены, бегающие марафонские дистанции, не тренируются на местности, они «набегают» свои километры на стадионе, двигаясь по окружности, при этом дистанция может быть сколь угодно большой.

Оказывается, окружность вполне может служит моделью числовой «прямой», на которой можно отметить точку, с самой удаленной координатой – вот нестандартный подход к решению проблемы. Данная модель получила название «числовая окружность»

При этом договорились считать движение по часовой стрелке движением в отрицательном направлении, а движение против часовой стрелки – это движение в положительном направлении.

Началом отсчета служит точка О, а единичный отрезок мы можем определить самостоятельно, например, четверть дуги окружности.

В чем преимущество числовой окружности перед числовой прямой?

(Учащиеся высказывают различные предположения, после чего подводим итог данного этапа урока)

Вывод: на числовой прямой каждая точка имеет единственное «имя» — число, а на числовой окружности каждая точка может иметь бесконечное множество «имен» — чисел. При этом в одну и ту же точку можно прийти, двигаясь как в положительном, так и в отрицательном направлении. В этом и заключается принципиальное отличие числовой окружности от числовой прямой.

1. Работа с новой моделью.

Рассмотрим числовую окружность с радиусом равным 1, назовем ее единичной окружностью.

Выясните, какой длины в этом случае будет наша «беговая» дорожка?

(Учащиеся выполняют вычисления в тетради: С=2πR, но т.к. R=1, то С=2π)

Если длина окружности 2π, то дуга первой четверти окружности имеет длину π/2, длина дуги первой и второй четвертей окружности составит π, длина 1-2-3 четвертей окружности будет составлять 3π/2, а пройдя всю окружность в положительном направлении, мы попадем опять в начало отсчета, но точка уже будет называться 2π.

Рассмотрим два макета числовой окружности.

1 макет (каждая дуга четверти окружности разделена пополам)

(Учащиеся работают с макетами числовой окружности в тетрадях, учитель на доске, присваивая точкам «имена», двигаясь сначала в положительном направлении, затем в отрицательном).

1. Закрепление полученных знаний.

А) Выполнение упражнений из учебника. На подготовленном учителем поле с готовой числовой окружностью учащиеся определяют и подписывают точки в соответствии с предложенным заданием. У доски одновременно работают по два ученика с различными стилусами (по цепочке), остальные — в тетрадях. Таким образом, большая часть учащихся получает возможность под руководством учителями поработать над получением практических навыков по изучаемой теме.

№ 11.9, № 11.10.

На числовой окружности найти точку, которая соответствует заданному числу.

№ 11.11.

Какой четверти числовой окружности, принадлежит точка, соответствующая заданному числу?

№ 11.16.

Найти на числовой окружности все точки, соответствующие заданной формуле.

Б) Самостоятельное выполнение № 11.16 (заданий в, г), затем выполнение самопроверки с помощью «прожектора»

1. Проверка усвоения новых знаний

   (на данном этапе урока используется интерактивный тест по теме «Числовая окружность», выполненный в программе Microsoft PowerPoint). Учащиеся работают в группах по 2-3 человека на ПК. После прохождения теста выполняют исправления ошибок, если они были сделаны. (см. приложение к уроку Числовая окружность.pptm)

1. Подведение итогов урока, домашнее задание.

Свежие документы: Тест для 10 класса «Read and translate the text. Answer he questions»