Изучить историю математики о делимости чисел.
2. Узнать признаки делимости на натуральные чисел от 2 до 25.
3. Изучить свойства делимости чисел.
4. Исследовать применение признаков делимости при решении цифровых головоломок и практических задач.
Гипотеза:
признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.
Введение.
Мы заинтересовался историей делимости чисел.
Кто из древних учёных занимался делимостью чисел? Кто такой Эратосфен? Что такое решето Эратосфена? Что собой представляет таблица простых чисел? Есть ли последнее простое число?
На уроках математики мы изучали основные признаки делимости чисел на 2,3,5, 9 и на 10. Но оказывается, признаков делимости гораздо больше. Есть признаки делимости на 4, 8,11,13,7 и другие числа. Неоценимо значение признаков делимости для развития умений устного счета, а также при решении цифровых головоломок и некоторых практических задач.
Старинная восточная притча:
Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
— О, мудрец!- сказал старший брат. — Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о, достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
— Нет ничего проще, — ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.
Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5. Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались:
— О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.
— Это не лишний, — сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.
1. Из истории математики о делимости чисел
Делимость – это
способность одного числа делиться на другое без остатка. Признаки делимости были широко известны в эпоху Возрождения, поскольку, пользуясь ими, можно было приводить дроби с большими числителями и знаменателями к несократимому виду.
ЭРАТОСФЕН
(около 275–194 до н. э.), один из самых разносторонних ученых античности. Эратосфен занимался самыми различными вопросами — ему принадлежат интересные исследования в области математики, астрономии и других наук. Трактаты Эратосфена были посвящены решению геометрических и арифметических задач.
Самым знаменитым математическим открытием Эратосфена стало так называемое «решето
», с помощью которого находятся простые числа.
Делитель
– это число, которое делит данное число без остатка. Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются
простыми числами
. Числа, имеющие другие делители, называются
составными
(или
сложными
)
числами
. Простых чисел – бесконечное множество. Наименьшим простым числом является 2, это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа следует искать среди нечётных чисел, но, разумеется, далеко не всякое нечётное число является простым. Так, например, нечётные числа 3, 5, 7, 11, 13 простые, а такие нечётные числа как 9, 15, 21 — составные, 9 имеет 3 делителя, число 15 – 4 делителя и т. д. Любое составное число можно разлагать на сомножители до тех пор, пока оно не распадётся на одни только простые числа. Простые числа являются как бы первичными элементами, из которых составляются все числа.
В математике Эратосфена интересовал как раз вопрос о том, как найти все простые числа среди натуральных чисел от 1 до N. Эратосфен считал 1 простым числом. Математики считают 1 числом особого вида, которое не относится ни к простым, ни к составным числам. Эратосфен придумал для этого следующий способ. Сначала вычеркивают все числа, делящиеся на 2 (исключая само число 2). Потом берут первое из оставшихся чисел (а именно 3). Ясно, что это число — простое. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 3. Первым оставшимся числом будет 5. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 5, и т. д. Числа, которые уцелеют после всех вычеркиваний, и являются простыми. Так как во времена Эратосфена писали на восковых табличках и не вычеркивали, а «выкалывали» цифры, то табличка после описанного процесса напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена для нахождения простых чисел получил название «решето Эратосфена».
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль. БЛЕЗ ПАСКАЛЬ
(Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра. Работы Паскаля в области точных наук, или ранний период его творчества относится к году. За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции.
Признак делимости Паскаля.
Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число. Например: число 2814 делится на 7, так как 2*6 + 8*2 + 1*3 + 4 = 35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).
2. Признаки делимости
Признак делимости на 2.
Число делится на 2 в том и, только в том случае, если его последняя цифра чётная.
Пример:
12
4
, 20
0
, 15
2
, 6
8
, 40
6
.
Признак делимости на 3.
Число делится на 2 в том и, только в том случае, если сумма его цифр делится на 3.
Пример:
144 на 3, т. к. 1+4+4 =9 делится на 3.
Признак делимости на 4.
Число делится на 4 в том и только в том случае, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4.
Пример:
7
24
делится на 4, т. к. 24 делится на 4.
Признак делимости на 5.
Число делится на 5 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0 или на 5.
Пример:
72
0,
65
5
делятся на 5.
Признак делимости на 6.
Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно чётное и делится на 3.
Пример:
720 делится и на 2 и на 3.
Признак делимости на 7.
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков делится на 7.
Пример:
259 делится на 7, т. к. 25 — (2 * 9) = 7 делится на 7.
Признак делимости на 8.
Число делится на 8 в том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8.
Пример:
6
136
делится на 8, т. к. 136 делится на 8.
Признак делимости на 9.
Число делится на 9 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.
Пример:
6102 делится на 9, т. к. 6+1+0+2 = 9 делится на 9.
Признак делимости на 10.
Число делится на 10 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0.
Пример:
72
0
делится на 10.
Признак делимости на 11.
Число делится на 11 тогда и только тогда, если модуль разности суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11
Получить полный текст
Пример:
100397 делится на 11, т. к. .
1+0+9=10; 0+3+7=10; =0 (нумерация идет слева направо).
Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:
испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.
Пример:
15235 делится на 11, т. к. разбивая на группы и складывая их: 1+52+35=88 делится на 11.
Признак делимости на 12.
Число делится на 12 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 3, и на 4.
Пример:
72
0
делится на 12, т. к. число делится и на 3, и на 4.
Признак делимости на 13.
Число делится на 13 тогда:
— когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.
Пример:
845 делится на 13, так как на 13 делятся 84+ 5*4 = 104 и 10+4*4=26.
— когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.
Пример:
845 делится на 13, так как на 13 делятся 84-9*5=39.
Признак делимости на 14.
Число делится на 14 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 2, и на 7.
Пример:
42
0
делится на 14, т. к. число делится и на 2, и на 7.
Признак делимости на 15.
Число делится на 15 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 3, и на 5.
Пример:
42
0
делится на 15, т. к. число делится и на 2, и на 5.
Признак делимости на 17.
Число делится на 17 тогда:
— когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.
Пример:
221 делится на 17, так как делится на 17.
— когда модуль суммы числа десятков и двенадцатикратного числа единиц делится на 17.
Пример:
221 делится на 17, так как делится на 17.
Признак делимости на 18.
Число делится на 18 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 2, и на 9.
Пример:
432 делится на 18, т. к. число делится и на 2, и на 9.
Признак делимости на 19.
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Пример:
646 делится на 19, так как на 19 делятся и
Признак делимости на 20.
Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.
Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.
Пример:
640 делится на 20, т. к. 40 делится на 20.
Признак делимости на 21.
Число делится на 21 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 3, и на 7.
Пример:
231 делится на 21, т. к. число делится и на 3, и на 7.
Признак делимости на 22.
Число делится на 22 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 2, и на 11.
Пример:
352 делится на 22, т. к. число делится и на 2, и на 11.
Признак делимости на 23.
Признак 1
: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.
Пример:
28842 делится на 23, так как на 23 делятся и
Признак 2
: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.
Пример:
391 делится на 23, так как делится на 23.
Признак 3
: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.
Пример:
391 делится на 23, так как делится на 23.
Признак делимости на 24.
Число делится на 24 в том и только в том случае, если оно делится одновременно и на 3, и на 8.
Пример:
8136 делится на 24, т. к. число делится и на 3, и на 8.
Признак делимости на 25.
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.
Пример:
175делится на 25, т. к. 75 делится на 25.
3. Свойства делимости чисел.
При решении задач на делимость часто бывают полезными свойства, связанные с последовательным расположением натуральных чисел
• Одно из п
последовательных натуральных чисел делится на
п;
Пример: 3; 4; 5; 6; 7 – 5 последовательных натуральных чисел, 5 делится на 5.
• Одно из двух последовательных четных чисел делится на 4;
Пример: 10;последовательных четных числа, 12 делится на 4.
• Произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6;
Пример: 5*6*7=делится на 6, т. к. 210 делится на 2 и на 3.
• Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.
Пример: 4*6=24 24 делится на 8.
• Свойство 1. Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.
Пример: 66 + 121= 187 делится на 11, т. к. 66 и 121 делятся на 11.
• Свойство 2. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.
Пример: 1125 – 75 =1050 делится на 25, т. к. 1125 и 75 делятся на 25
• Свойства 3. Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и все произведение делится на это число.
Пример: 21*5*9 = 945делится на 7, т. к. 21 делится на 7.
• Свойство 4. Если некоторое целое число делится на другое, а это другое – на третье, то и первое число делится на третье.
Пример: 171 делится на 57, а 57 делится на 19, значит 171 делится на 19.
4. Применение признаков делимости при решении цифровых головоломок и практических задач.
Задача № 1.
Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» — две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?
Решение.
3543+500= 4043, но 4043 не делится на 3.
Задача № 2
Семеро друзей. У одного гражданина было 7 друзей.
Первый посещал его каждый вечер, второй — каждый второй вечер, третий — каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.
Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер?
Решение.
Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7. НОД (2, 3, 4, 5, 6, 7) = 420
Ответ: 1 раз в 420 дней.
Задача № 3
Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел. Напишите наименьшее из таких чисел.
Решение.
Используем признак делимости на 11.
Ответ: ;
Задача № 4
Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.
Решение
Только на 7.
Ответ 167, 257, 347, 527.
Задача № 5
Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.
Ответ: 8910.
Задача № 6.
Катя утверждает, что она придумала признак делимости на 81: «Если сумма цифр числа делится на 81, то и само это число делится на 81.» Верно ли Катино утверждение? Если да, то докажите его. Если нет, приведите пример опровергающий пример Кати.
Ответ: опровергающий пример .
Задача № 7.
Произведение цифр трехзначного числа равно 135. Какова сумма цифр этого числа?
Решение.
Число 135 делится на 5, 3, 9, значит число состоит из этих цифр, сумма этих цифр равна 17.
Ответ: 17.
Задача №8
Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?
Понятие о цифре и числе
Некоторые начинающие математики путают между собой цифры и числа. Однако разобрав их формулировки, можно с легкостью понять разницу между ними. Цифра — математический знак (символ), который используется для формирования разрядной сетки.
Последней называется некоторая последовательность математических символов, обладающей количественной характеристикой.
Сетка состоит из разрядов, в каждый из которых записывается одна цифра от 0 до 9. На основании этого разрядная сетка состоит из следующий компонентов, которые в совокупности и образуют число:
Эти понятия изучаются в начальных классах общеобразовательных учебных заведений. Однако для изучения методики, позволяющей определить, какие числа делятся на 6. В средних классах, начиная с 5-го, готовят различные доклады и проекты, позволяющие рассмотреть применение признаков делимости одного числа на другое в более подробной форме.
Число — количественная характеристика, состоящая из разрядной сетки. Иными словами, оно состоит из цифр, расположенных в строгой последовательности.
Каждый ученик должен понять это важное свойство, поскольку оно позволяет понять основную разницу между цифрой и числовым значением. Далее необходимо перейти уже к самой методике деления на шестерку.
