Тесты по математике, 6 класс. Признаки делимости натуральных чисел

План урока:

В субботу, ученики 6 класса договорились встретиться и погулять в парке. Утром Юля выглянула в окошко, ярко светит солнышко, но при этом морозно. Девочка взглянула на термометр. Он показывал -10˚C. Мама попросила Юлю пойти на улицу немного позже, когда на улице потеплеет. Юля расстроилась и стала ждать. Через два часа девочка снова взглянула на термометр. Он показал -3. Ого! Всего два часа, а так потеплело – обрадовалась девочка и стала одеваться, чтобы идти гулять. В это время в комнату вошла мама и удивленно спросила «Уже потеплело? На сколько градусов?» Дочь не знала, что сказать и как правильно узнать, на сколько градусов стало теплее. Мама пришла на помощь и сообщила, что достаточно от -10 отнять -3, и мы узнаем, на сколько градусов изменилась температура воздуха за окном. Иначе, можно сказать, что шкала термометра поднялась вверх на 7 делений, значит, на улице стало теплее на 7 градусов. Запомнив все, что рассказала мама, Юля побежала в парк делиться новыми знаниями с друзьями.

Сложение и вычитание отрицательных чисел

Давайте вспомним любимую многими сказку «Буратино» и разберем задачу с участием любимых персонажей.

В театре Карабаса-Барабаса актерам жилось очень сложно, все куклы мечтали жить на свободе. Актеры тяжело работали, но долги перед хозяином росли с каждым днем. Злой владелец пообещал отпустить Буратино и Мальвину из своего театра только тогда, когда кукольные герои вернут ему долг. Сколько монет нужно собрать героям, чтобы оказаться на свободе, если у Буратино было -15 монет, а у Мальвины -6?

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нам нужно понимать, о чем идет речь. Изучив условие, возникает вопрос «Как может быть -15 и -6 монет?». В данном случае выходит, что Буратино и Мальвина должны вернуть Карабасу-Барабасу 15 и 6 монет, поэтому перед данными числами и стоит знак «минус». Получается, кукольные персонажи смогут покинуть театр, когда полностью вернут долг. Для этого необходимо узнать общий размер долга Буратино и Мальвины. Чтобы узнать размер долга, суммируем монеты персонажей -15 и -6. Но как их сложить, когда перед слагаемыми стоит «минус»? В подобных ситуациях применяют правило сложения отрицательных чисел.

Возвращаемся к решению задачи.

Теперь, правильно запишем и суммируем известные данные.

Получается, что герои имеют -21 монету, следовательно, они должны собрать 21 монету и вернуть долг, только тогда появится возможность покинуть театр Карабаса-Барабаса.

Рассмотрим еще одно задание.

Найдите результат сложения -24 и -16.

Чтобы вычислить сумму двух значений со знаком «минус», достаточно суммировать их модули, и перед полученной цифрой записать «-».

-24+(-16)=-(24+16)=-40.

Запомни! Если складываем два отрицательных числа, то суммируем их модули, а перед результатом сложения записываем «-».

Свойства делителей от 6 до 10

Составное шесть состоит из произведения двух последовательных чисел — 2 и 3. Теория кратности такова: число 6 составное, поэтому необходимо, чтобы одновременно действовали два правила признака делимости. Нужно, чтобы число было кратно и двум, и трем сразу.

Например, проверке подвергаются трехзначные числа 756 и 168. Они четные, поэтому делятся на два. Теперь нужно сложить 7+5+6=18, становится ясно, что сумма 18 делится на 3. Число 165 при разложении на однозначные цифры с последующим сложением превращается в 12, которое может разделиться на три. Оба числа кратны одновременно 2 и 3, значит, кратны шести.

Определение отношения с делимостью на семь довольно сложное: число делится, если при удвоении последней цифры и полученной разности результат кратен семи или равен нулю.

Пример, трехзначное число 679 кратно 7. (Калькулятор выдал 97). Узнать можно так:

• 2*9=18.
• 67−18=49.
• 49:7=7.

Из примера видно, что удвоилось последнее число, затем получена разность, после чего — отношение-доказательство.

В классе было дано задание доказать, что число 497 делится на семь. Порядок решения:

• 2*7=14.
• 49−14=35.
• 35:7=5.

Найти признак делимости на 8 очень легко. Формулировка закона такова: последние три цифры должны быть 000 или 888. Легко можно произвести вычисления с 789000: оно делится на 8, так как оканчивается на 000. Множество 289673888 тоже кратно 8, поскольку заканчивается на 888.

Свойство при делителе 9 похоже на правило с 3. Формула делимости на 9 довольно простая: сумма цифр должна быть кратна девяти. Маленький пример: из 46980 возможно получить целое, 4+6+9+8+0= 27. Получившаяся сумма кратна 9. Еще одно задание: найти отношение с использованием признака кратности 9 при делимом 29565. Рассуждение: 2+9+5+6+5=27. Полученная сумма может разделиться на девять.

Сложение чисел с разными знаками

Рассмотрим ситуацию.

Мишин папа навещал бабушку в деревне, обещал привезти гостинец сыну – яблоки. Во дворе Миша рассказал мальчишкам про папино обещание, и решил угостить яблоком, каждого из трех друзей, то есть, у него уже стало -3 яблока. Папа привез сыну 10 яблок и мальчик с радостью поделился фруктами с друзьями. Сколько яблок осталось у мальчика?

Чтобы найти количество яблок у мальчика, нам нужно узнать, чему равна сумма яблок –тех которые были у мальчика(-3), и тех, которые дал папа(10). То есть, чтобы ответить на главный вопрос задачи, достаточно сложить -3 и 10. Но слагаемые имеют разные знаки «+» и «-». Как же выполнить сложение положительного и отрицательного чисел? Запомнив алгоритм сложения положительных и отрицательных чисел сделать это, будет очень просто.

Используем рассмотренный алгоритм при выполнении действий.

Суммируем-3 и 10. Для этого:

• определяем модули: -3=|3|, 10=|10|;
• сравниваем модули, определяя больший: |3|<|10|;
• от большего отнимаем меньший: 10 – 3=7;
• так как по условию 10 – число положительное, то и результат будет числом положительным.

Записывается в таком виде:

-3+10=10 – 3=7.

Выходит, у мальчика стало 7 яблок.

Рассмотрим еще один пример сложения чисел с разными знаками.

Вычислите сумму -28 и 11.

Известные слагаемые имеют разные знаки, то есть -28 является значением отрицательным, а 11–положительным. Чтобы суммировать слагаемые, необходимо воспользоваться ранее рассмотренным алгоритмом. Вначале, определяем модули и сравниваем их.

-28=|28|;

11=|11|;

28>11.

Помним, что большее значение модуля имеет отрицательное слагаемое (-28), поэтому перед результатом нужно будет поставить знак «минус». Теперь, находим разность большего и меньшего значения модуля (28-17) и записываем математическое выражение:

-28+11=-(28-11)=-17.

Учитывая рассмотренные примеры, можно сказать, что:

любое числовое значение от прибавления к нему положительного числа, всегда становится больше, а от прибавления отрицательного числа только меньше.

Докажем справедливость данного правила, вычислив выражение и сравнив уменьшаемое с полученной суммой:-150+50.

Чтобы найти значение выражения нужно определить модули (150 и 50), оставив знак«-» модуля большего слагаемого, от большего значения отнимаем меньшее:

-150+50=-(150-50)=-100.

Сравним найденное значение выражения (-100) с уменьшаемым (-150), используя правило сравнения чисел с отрицательным знаком:

При сравнении цифровых значений со знаком «минус», меньшим будет то, чей модуль больше.

-150=|150|;

-100=|100|.

150>100;

-150<-100.

Действительно, при сложении с отрицательным числом уменьшаемое стало только меньше.

Урок математики в 6 классе по теме»Делимость чисел» план-конспект урока алгебры (6 класс) по теме

Тема урока: Делимость чисел.

Цели урока:

1) образовательная: выработка умения обобщать изученный материал, анализировать, сопоставлять и делать выводы;

2) воспитательная: формирование навыков самоконтроля; воспитание чувства ответственности;

3) развивающая: развитие памяти, воображения, мышления, внимания, сообразительности.

Оборудование: написанные на доске примеры для устной и самостоятельной работы, листы с заданиями, учебники, проектор, компьютер, экран.

Тип урока: комбинированный.

Ход урока.

1. Организационный момент.

1. Актуализация знаний.

Устный счет.

1. Назовите делители числа 36. (Слайд № 2)
2. Назовите несколько кратных числа 36. (Слайд № 3)
3. Какие из чисел 100, 250, 21, 47 делятся на 10? (Слайд № 4)
4. Какие числа делятся на 2? (Слайд № 5)
5. Какие числа делятся на 5? (Слайд № 6)
6. Какие числа делятся на 3? (Слайд № 7)
7. Какие числа делятся на 9? (Слайд №
8. Какие числа называются простыми? Составными? (Слайд № 9)
9. Найти НОД (12, 30). (Слайд № 10)
10. Найти НОК (12, 30). (Слайд № 11)

1. Закрепление, систематизация, применение новых знаний, умений.

1. Выберите из чисел 5, 7, 14, 23, 15, 33 те, которые являются:

А) делителями числа 60;

Б) кратными 7;

В) делителями 20 и кратными 5.

1. Женя разложил 25 карандашей по 2 коробкам. Может ли в коробках быть одинаковое число карандашей?
2. Запишите все числа, состоящие из цифр 1, 7, 0. Какие из них будут делиться на 10?
3. Запишите все двузначные числа, которые делятся на 5. Какие из них являются четными? Какие делятся на 10?
4. Напишите все двузначные числа, оканчивающиеся на 3.Какие из них делятся на 3, а какие на 9?
5. Напишите все двузначные числа, разложение которых состоит из двух простых однозначных чисел.
6. Ребята на новогодней елке получили одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 27 апельсинов и 45 яблок. Сколько ребят было на празднике?

Решение. Решением задачи является НОД (27, 45), который соответствует числу ребят. Разложим 27 и 45 на простые множители: 45 = 3 . 3 . 5; 27 = 3 . 3 . 3. Отсюда видно, что НОД (27, 45) = 9. Следовательно, на празднике было 9 ребят.

1. Найдите НОК (108, 64).

Решение. 108 = 2 . 2 . 3 . 3. 3; 64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2. Значит, НОК (108, 64) = 64 . 27 = 1728.

1. Проверка знаний и умений.

Самостоятельная работа.

Составьте два различных четных трехзначных числа, которые делились бы на 2, на 5 и на 9 и состояли бы из одинаковых цифр. Найдите их НОД и НОК.

Решение. Если искомые числа делятся на 2, 5 и на 9, то они кратны их произведению, т.е. 90. Составим пары:

180 и 810, НОД = 90, НОК = 1620;

270 и 720, НОД = 90, НОК = 1620;

360 и 630, НОД = 90, НОК = 2520;

450 и 540, НОД = 90, НОК = 2700.

Ответ: 180 и 810, 270 и 720, 360 и 630, 450 и 540.

1. Домашнее задание.

Сообщить учащимся о домашнем задании, обеспечить понимание содержания и способов выполнения.

Предлагается найти НОД (а, в) и НОК (а, в). Числа а и в взять самим произвольно.

1. Подведение итогов урока.

Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.

Дорогие друзья! Подводя итоги урока, мне бы хотелось услышать ваше мнение об уроке.

Что интересного и поучительного было на уроке?

Можно ли мне быть уверенным, что с задачами такого типа вы справитесь?

Какие из задач оказались наиболее трудными?

Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

Какие проблемы породил этот урок?

Учитель: Дорогие друзья! Большое спасибо вам за приятное общение. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Вы очень помогли мне провести этот урок. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество.

Урок окончен! (Слайд № 12).

Контрольная работа по теме: » Положительные и отрицательные числа» для 6 класса

Разработка урока по математике для 6 класса

Урок № 46 Дата: 25. 10. 2020г

Тема:
Контрольная работа по теме:«Положительные и отрицательные числа».
Цель урока:

Проконтролировать уровень знаний учащихся по теме: «Положительные

и отрицательные числа. Модуль числа»

Задачи:

• Способствовать формированию умений применять правила сравнения рациональных чисел, решения уравнений и выражений со знаком модуля, применять координатную прямую на практике.
• Развивать память, речь, наблюдательность, подмечать закономерность, обобщать проводить суждения по аналогии, умения работать с учебником.
• Развивать логику мышления, быстроту устного счёта.
• Воспитывать аккуратность при ведении тетради, ответственного отношения к учебе.
• Пробудить у учащихся интерес к изучению математики, расширить их кругозор; показать, что математика – чудесная наука.

Структура урока

1. Организационный момент:

   Раздать тетради для контрольных работ, раздать работу на два варианта двух уровней.

2. Позитивный настрой.

Чтобы задачи верно решать, необходимо думать и рассуждать. И, конечно, без ошибок вычислять. А для этого нужно внимание и обязательно старание.

1. Основная часть:

   Решение работы:

   Читайте также:  Окружающий мир 2 класс 1 часть Красная книга стр. 88 – 91

1 вариант А

1. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок длину двух тетрадных клеток. а) Отметьте на ней точки: А(-1), В(5) и С (-4).

б) Обозначьте буквами М, Е и D точки, координаты которых числа,

противоположные координатам точек А, В и С.

1. а) Выпишите все целые числа, которые расположены на координатной прямой между

числами -5,1 и 7,3.

б) Между какими целыми числами на координатной прямой расположено число -3,5?

Ответ запишите в виде двойного неравенства.

1. Сравните: а) -2 и 0; б) 3,14 и -5; в) -6 и -1,8; г) 1,25 и 0; д) и 7; е) и 4.

4. Решите уравнения:= 6,7 б) = 8,2 в) -= 3,8

1. Выполните действия: а) 48: + б) + ):;

6. Решите, задачу составив пропорцию: Из 156,8 м ткани сшили 56 платьев. Сколько платьев

можно сшить из 89,6 м такой же ткани?

2 вариант А

1. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок длину двух тетрадных клеток. а) Отметьте на ней точки: А(-2), В(3) и С (-5).

б) Обозначьте буквами K , L и P точки, координаты которых числа,

противоположные координатам точек А, В и С.

1. а) Выпишите все целые числа, которые расположены на координатной прямой между

числами -4,8 и 8,5.

б) Между какими целыми числами на координатной прямой расположено число -5,6?

Ответ запишите в виде двойного неравенства.

1. Сравните: а) -3 и 0; б) 2,15 и -6; в) -7 и -1,7; г) 1,25 и 0; д) и 6; е) и 9.

4. Решите уравнения: = 12,4 б) = 3,8 в) -= 6,1

5. Выполните действия: а) 126: + б) ( — ):;

6. Решите, задачу составив пропорцию: За 5 кг яблок заплатили 120 тенге. Сколько нужно

заплатить за 7 кг яблок?

1 вариант В

1. Начертите координатную прямую и отметьте на ней точку В (1). Точка D лежит на расстоянии 2 единичных отрезков в положительном направлении от точки В, а точка Е лежит на расстоянии 3 единичных отрезков в отрицательном направлении от точки В.

а) Запишите координаты точек D и Е;

б) Обозначьте буквами K , L и P точки, координаты которых числа, противоположные

координатам точек В, D и Е.

1. а) Выпишите все целые числа, которые расположены на координатной прямой между

числами -6,2 и 6,7.

б) Между какими целыми числами на координатной прямой расположено число -10,8?

Ответ запишите в виде двойного неравенства.

1. Решите уравнения: а) б) — в) ;

4. Сравните: б) и ; в) -99 и 0,1; г) -8,7 и -8,6;

5. Выполните действия: ;

6. Решите задачу: Отношение собственной скорости лодки к скорости течения реки равно

4:1. Скорость течения реки на 6,9 км/ч меньше собственной скорости лодки. Какое

расстояние проплывёт лодка за 2 часа по течению реки?

2 вариант В

1. Начертите координатную прямую и отметьте на ней точку А (-2). Точка В лежит на расстоянии 5 единичных отрезков в положительном направлении от точки А, а точка С лежит на расстоянии 2 единичных отрезков в отрицательном направлении от точки А.

а) Запишите координаты точек В и С;

б) Обозначьте буквами K , L и P точки, координаты которых числа, противоположные

координатам точек А, В и С.

1. а) Выпишите все целые числа, которые расположены на координатной прямой между

числами -8,3 и 4,3.

б) Между какими целыми числами на координатной прямой расположено число -12,6?

Ответ запишите в виде двойного неравенства.

1. Решите уравнения: а) б) — в) ;

4. Сравните: б) и ; в) -89 и 0,9; г) -7,8 и -7,6;

5. Выполните действия: ;

6. Решите задачу: Точка С делит отрезок АВ в отношении 7:3. Найдите длину отрезка АВ,

если отрезок АС больше отрезка CD на 8 см.

1. Постановка домашнего задания: Составить конспект:

   «Исторические сведения о системах счисления и об отрицательных числах».

2. Подведение итогов. Рефлексия.