Деление с остатком и неполное частное
Но не всегда можно одно число разделить на другое. Вернее сказать, что не всегда можно сделать это полностью. Например, 37 нельзя разделить на 5, потому что нет такого натурального числа, умножив которое на 5, мы получили бы 37. В этом случае говорят, что 37 не делится нацело на 5.
К примеру, если мы захотим раздать все 37 яблок поровну между пятью детьми, то у нас это сделать не получится. Мы сможем раздать (использовать из всего количества яблок) только по 7 яблок каждому ( \(\textcolor{red} {7\cdot 5=35}\) ), и у нас останется 2 яблока ( \(\textcolor{red} {37-35=2}\) ).
В таком случае действие деление также состоит из делимого (в нашем случае 37) и делителя (5). Полученное число 7 называется неполное частное, потому что не все делимое число мы смогли разделить на необходимое число частей. А разница между полным делимым (37) и использованными из него единицами (35), то есть число 2, называется остаток.
Итак, деление с остатком – это нахождение такого наибольшего целого числа, умножив которое на делитель, мы получим число, максимально близкое к делимому, но не превосходящее его. Это искомое число называется неполное частное. Разница между делимым и неполным частным называется остаток.
Остаток всегда меньше делителя!
Отсюда следует общий вид действия деления натуральных чисел для случаев деления без остатка и с остатком. Разделить целое число a (делимое) на целое число b (делитель) означает найти такие числа c и d, при которых справедливы следующие соотношения: \(\textcolor{red} {a=b\cdot c+d}\) ; \(\textcolor{red} {d.Если \(\textcolor{red} {d=0}\) , тогда говорят, что a делится на b без остатка.
Компоненты действия деление с остатком:
Задачи, которые решаются при помощи действия деления
В курсе математики средней школы наиболее часто используется деление при решении таких задач, когда нужно:
- Узнать, во сколько раз одно число меньше и больше другого? Этот вопрос может звучать по-другому: сколько раз меньшее число содержится (помещается) в большем? Или: сколько раз поместится в большем числе меньшее?Например: сколько пятиграммовых стиков сахара находится в килограммовой упаковке? (1000 г : 5 г = 200 шт.).
- Число разделить на заданное количество равных частей. Например: сколько получится грамм сахара в каждом пакете, если пересыпать килограмм сахара в 5 одинаковых пакетов поровну? (1000 г : 5 шт. = 200 г).
- Уменьшить число в заданное количество раз. Например: для приготовления блюда на 5 человек использовали 1 кг сахара, а сколько сахара потребуется для приготовления этого же блюда для одного человека? (1000 г : 5 чел. = 200 г).
Связь деления с умножением, сложением и вычитанием
Когда мы выполняем находим произведение двух чисел, эти числа нам известны, а от нас требуется найти результат действия умножение. При делении (без остатка) нам известно произведение двух чисел, а найти нужно такое число, которое при умножении на известное данное число дает это самое произведение.
Следовательно, действие деление является обратным действию умножения.
Справедливо также и обратное, что действие умножение обратно действию деления. Таким образом:
Умножение и деление – это взаимно обратные действия.
Связь деления с умножением, а также со сложением и вычитанием прекрасно видна, если рассмотреть, как с помощью этих действий можно выполнить действие деление.
Рассмотрим их на примере: 345 разделить на 69.
Деление двух чисел при помощи сложения
Чтобы узнать при помощи сложения, сколько раз число 69 содержится в 345, нужно складывать последовательно 69 до тех пор, пока не получим нужного нам числа:
\(\textcolor{red} {69+69=138}\) ; \(\textcolor{red} {138+69=207}\); \(\textcolor{red} {207+69=276}\); \(\textcolor{red} {276+69=345}\).
Число 69 было слагаемым всего 5 раз, значит, \(\textcolor{red} {345\div 69=5}\) .
Деление двух чисел при помощи вычитания
Аналогично предыдущему способу, мы можем узнать, сколько раз в числе 345 содержится число 69, вычитанием. Для этого мы будем последовательно вычитать из 345 число 69 до тех пор, пока не получим нуль, и считать количество действий:
\(\textcolor{red} {345-69=276}\); \(\textcolor{red} {276-69=207}\); \(\textcolor{red} {207-69=138}\); \(\textcolor{red} {138-69=69}\); \(\textcolor{red} {69-69=0}\).
То есть, 69 от 345 можно отнять 5 раз, поэтому \(\textcolor{red} {349\div 69=5}\).
Деление двух чисел при помощи умножения
При помощи умножения узнать ответ на наш вопрос можно перебирая множитель числа 69 до тех пор, пока не получим заданное нам 345:
\(\textcolor{red} {69\cdot 2=138}\); \(\textcolor{red} {69\cdot 3=207}\); \(\textcolor{red} {69\cdot 4=276}\); \(\textcolor{red} {69\cdot 5=345}\).
Искомое частное равно полученному множителю числа 69, то есть, 5.
Но эти три способа очень громоздки, особенно если частное представляет собой очень большое число. Их нужно знать только для того, чтобы понимать суть действия деления, суть тех задач, которые решаются посредством него.
Урок математики «Умножение и деление натуральных чисел» 5 класс
Цели:
Учебные:
- Обобщить и систематизировать материал по данной теме;
- Научить обобщать знания, делать выводы по материалу обязательного уровня;
- Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень;
Воспитательные:
- Содействовать рациональной организации труда;
Развивающие:
- Развивать познавательные процессы, память, воображение, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность;
- Вырабатывать самооценку в выборе пути;
- Повысить интерес учащихся к нестандартным задачам, сформировать у них положительный мотив учения.
Содержание темы: данная тема программы по математике любого действующего учебника из Федерального комплекта.
Тип урока: урок обобщения и систематизации.
Структура урока:
- мотивационная беседа с последующей постановкой цели;
- актуализация опорных знаний;
- практические задания;
- подведение итогов урока;
1) Учитель: Добрый день, ребята! Сегодня мы с вами проведём урок обобщения знаний по теме «Умножение и деление натуральных чисел», который позволит нам выявить уровень усвоения вами знаний и умений по данной теме при выполнении практических заданий. Я надеюсь, что сегодняшний урок во многом станет для вас уроком – развития и повысит интерес к предмету «математика». Итак, все готовы? Тогда — в путь!
А) Начинаем с повторения ранее изученного материала:
Б) Перед вами листочки с заданиями математического диктанта. Вы должны дать только ответы.
В) Листочки с ответами сдать. А теперь проверьте – верно ли вы ответили на задания диктанта.
Г) Физминутка.
Я сейчас вам буду зачитывать примеры с ответами. Если вы согласны со мной, то поднимаете руки вверх, а если нет, то вытягиваете их вперед.
— Если вы согласны со мной, то голову наклоняете вперёд, если нет, то назад.
Д) Каждому ряду необходимо выполнить различные задания на применение правила о порядке действий при вычислениях.
Проверим – какие ответы вы получили. Ученик с каждого ряда дает ответ и поясняет свои действия при решении примеров.
Е) Немного занимательной математики.
Ж) Самостоятельная работа на 2 варианта.
- Вычислите:
- Решите уравнения:
- Решите задачу с помощью уравнения:
Подведение итогов:
– Вы замечательно поработали на уроке. Надеюсь, этот материал вы не забудете, он вам пригодится на протяжении всего вашего обучения. Все, наверное, помнят поговорку: «Повторение- мать ученья!». Математика — не исключение. И чтобы хорошо усваивать её, надо постоянно повторять изученное.
Общий принцип деления в столбик
Если частное от деления двух чисел является многозначным числом, нахождение его происходит путем деления в столбик. Еще его называют деление уголком.
Решим пример \(\textcolor{red} {295383\div 34}\).
Прежде всего, нужно узнать количество цифр в частном и первое неполное делимое; как их находить, я подробно расписал в этой статье. В нашем случае первое неполное делимое равно 295 тысяч, а в частном будет 4 цифры.
Далее записываем известные компоненты деления следующим образом:
и начинаем вычисление:
1. Берем первое неполное делимое и пытаемся его разделить на делитель.
Вот тут нам и пригодится способ нахождения однозначного частного. Воспользовавшись им, находим, что в 295 тысячах делитель 34 содержится целиком 8 тысяч раз.
Записываем в частное первую найденную цифру разряда тысяч, а под неполным делимым пишем результат произведения неполного частного и делителя. И сразу же находим остаток от этого действия, т.е. вычитаем из неполного частного результат этого произведения.
В результате умножения первой найденной цифры частного на делитель у нас получилось \(\textcolor{red} {8\cdot 37=272}\). Записываем его под 295 и находим разницу: \(\textcolor{red} {295-272=23}\). Значит, 23 тысячи у нас остаются неразделенными.
В качестве еще одного действия самопроверки нужно сравнить полученную разницу с делителем. Если она меньше делителя, то мы на правильном пути, если же разница равна или больше делителя, то мы или неправильно нашли цифру частного, или допустили ошибку при умножении на делитель либо при нахождении остатка.
2. Оставшиеся неразделенные 23 тысячи представляют собой 230 сотен. Прибавляем к ним те 3 сотни, которые содержатся в делимом (говорят: сносим пять) и получаем второе неполное делимое 233 сотни.
Находим результат деления второго неполного делимого на делитель. 233 сотни разделить на 34 будет 6 сотен. Значит, в разряде сотен частного будет цифра 6. Умножаем ее на делитель 34, получаем 204 и еще 29 сотен неразделенных.
3. 29 неразделенных сотен – это 290 десятков. Добавляем (сносим) к ним 8 десятков делимого, получаем третье неполное делимое 298 десятков.
При делении второго неполного делимого 298 десятков на делитель 34 получается 8 десятков, и еще 26 десятков неразделенных (как и в предыдущих действиях, я умножил 8 на 34 и результат отнял от 298). Поэтому, в частном, в разряде десятков записываем цифру 8.
4. И наконец, 26 десятков – это 260 простых единиц. Добавляем (сносим) к ним 3 единицы делимого и получаем четвертое неполное делимое 263 единицы.
Разделив 263 единицы на 34, получаем 7 полных единиц и 25 неразделенных. Записав в частном последнюю цифру разряда единиц, получаем окончательный ответ действия \(\textcolor{red} {295383\div 34=8687}\) и 25 в остатке.
Рассмотрим еще один пример. \(\textcolor{red} {25326\div 63}\).
Первое неполное делимое будет 253 сотни, количество цифр в частном – 3.
Делим 253 сотни на 63, получается 4 полных сотни и неразделенная 1 сотня в остатке.
1 сотня = 10 десятков, добавляем (сносим) 2 десятка из делимого, получаем второе неполное делимое 12 десятков.
Но 12 не делится нацело на 63 части, то есть, нет ни одного целого десятка в каждой части. Значит, мы в частном в разряде десятков должны записать 0, поскольку все 12 десятков оказались неразделенными. А к этим 12 десяткам (т.е. 120 сотням) добавить (снести) 6 единиц делимого.
Итак, запомните, что каждое неполное делимое образует в частном одну цифру соответствующего разряда и что даже если неполное делимое меньше делителя, то в частном все равно нужно записать нулевой результат этого действия.
126 единиц делим на 63, получается 2 единицы без остатка. Теперь мы можем записать окончательный ответ деления \(\textcolor{red} {25326\div 63=402}\).
Итак, в общем виде алгоритм деления в столбик выглядит так: 1. Находим первое неполное делимое и количество цифр в частном. 2. Делим неполное делимое на делитель. Цифру, полученную в результате деления записываем ниже черты под делителем. 3. Умножаем полученную цифру на делитель, результат записываем под неполным делимым. 4. Ставим между ними знак минус и выполняем действие. 5. К полученной разнице сносим цифру следующего разряда (если она есть) и получаем второе неполное делимое. 6. Выполняем пункты 2-5 до тех пор, пока в делимом не останется ни одной неснесенной цифры. 7. Если неполное делимое невозможно разделить на делитель, то в частном ставится 0 и к этому неполному делимому сносится следующая цифра.
5.5.6. Деление на десятичную дробь
I. Чтобы разделить число на десятичную дробь, нужно перенести запятые в делимом и делителе на столько цифр вправо, сколько их стоит после запятой в делителе, а затем выполнить деление на натуральное число.
Примеры.
Выполнить деление: 1) 16,38:0,7; 2) 15,6:0,15; 3) 3,114:4,5; 4) 53,84:0,1.
Решение.
Пример 1) 16,38:0,7.
В делителе 0,7 после запятой стоит одна цифра, поэтому, перенесем запятые в делимом и делителе на одну цифру вправо.
Тогда нам нужно будет разделить 163,8 на 7.
Выполним деление по правилу деления десятичной дроби на натуральное число.
Делим так, как делят натуральные числа. Как снесем цифру 8 — первую цифру после запятой (т.е. цифру в разряде десятых), так сразу поставим в частном запятую и продолжим деление.
Ответ: 23,4.
Пример 2) 15,6:0,15.
Переносим запятые в делимом (15,6) и делителе (0,15) на две цифры вправо, так как в делителе 0,15 после запятой стоят две цифры.
Помним, что справа к десятичной дроби можно приписать сколько угодно нулей, и от этого десятичная дробь не изменится.
Тогда:
15,6:0,15=1560:15.
Выполняем деление натуральных чисел.
Ответ: 104.
Пример 3) 3,114:4,5.
Перенесем запятые в делимом и делителе на одну цифру вправо и разделим 31,14 на 45 по правилу деления десятичной дроби на натуральное число.
Итак:
3,114:4,5=31,14:45.
В частном поставим запятую сразу, как сносим цифру 1 в разряде десятых. Затем продолжаем деление.
Чтобы закончить деление нам пришлось приписать нуль к числу 9 — разности чисел 414 и 405. (мы знаем, что справа к десятичной дроби можно приписывать нули)
Ответ: 0,692.
Пример 4) 53,84:0,1.
Переносим запятые в делимом и делителе на 1 цифру вправо.
Получаем: 538,4:1=538,4.
Проанализируем равенство: 53,84:0,1=538,4. Обращаем внимание на запятую в делимом в данном примере и на запятую в полученном частном. Замечаем, что запятая в делимом перенесена на 1 цифру вправо, как если бы мы умножали 53,84 на 10. (Смотрите видео «Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.») Отсюда правило деления десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.
II. Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д., нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т. д. цифр. (Деление десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. равносильно умножению этой десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.)
Примеры.
Выполнить деление: 1) 617,35:0,1; 2) 0,235:0,01; 3) 2,7845:0,001; 4) 26,397:0,0001.
Решение.
Пример 1) 617,35:0,1.
Согласно правилу II деление на 0,1 равносильно умножению на 10, и запятую в делимом перенесем на 1 цифру вправо:
1) 617,35:0,1=6173,5.
Пример 2) 0,235:0,01.
Деление на 0,01 равносильно умножению на 100, значит, запятую в делимом перенесем на 2 цифры вправо:
2) 0,235:0,01=23,5.
Пример 3) 2,7845:0,001.
Так как деление на 0,001 равносильно умножению на 1000, то перенесем запятую на 3 цифры вправо:
3) 2,7845:0,001=2784,5.
Пример 4) 26,397:0,0001.
Разделить десятичную дробь на 0,0001 — это все равно, что умножить ее на 10000 (переносим запятую на 4 цифры вправо). Получаем:
4) 26,397:0,0001=263970.
Смотрите видео «Деление на десятичную дробь»
Деление на числа, заканчивающиеся нулями
Как и в случае с умножением, деление чисел облегчается, если делитель заканчивается одним или несколькими нулями. Рассмотрим два возможных случая:
- частный – когда делитель является единицей с нулями
- общий – когда делитель любое число, оканчивающееся нулями.
Рассмотрим первый случай.
Деление на единицу с любым количеством нулей
Единица с любым количеством нулей – это не что иное как единица соответствующего разряда. Например, 10 – это 1 единица разряда десятков, 1000 – это одна единица разряда тысяч, 10000000 – 1 единица разряда десятков миллионов и т.д.
Следовательно, разделить число, к примеру, на 10, 1000, 10000000 и т.д. – это значит определить, сколько в нем содержится десятков, тысяч, десятков миллионов. А как узнать, сколько в каком-либо числе содержится единиц любого разряда я уже рассказывал в уроке разряды и классы. Для завершения действия деления нужно лишь записать в остаток число, которое получается из отбрасываемых нами цифр.
Например:
\(\textcolor{red} {75427916\div 10=7542791}\) (остаток 6); \(\textcolor{red} {75427916\div 1000=75427}\) (остаток 916); \(\textcolor{red} {75427916\div 10000000=7}\) (остаток 5427916).
Запишите: Чтобы разделить какое-нибудь число на единицу с любым количеством нулей, нужно отсчитать в делимом справа столько цифр, сколько нулей содержится в делителе; тогда все цифры, находящиеся слева от разделения, составят частное, а те, что справа – будут остатком.
Деление на число, оканчивающееся нулями
Рассмотрим на примере \(\textcolor{red} {284556\div 2800}\).
Делитель здесь не что иное как 28 сотен. Логично предположить, что эти 28 сотен могут хотя бы один раз содержаться только в сотнях делимого. Значит, нам нужно определить, сколько в делимом всего единиц разряда сотен, и разделить их на 28 единиц разряда сотен делимого. А отброшенные цифры десятков и простых единиц добавятся к остатку.
В числе 284556 всего 2845 сотен да еще 56 единиц. Разделим 2845 сотен на 28 сотен, получим частное 101 и 17 сотен неразделенными. Прибавив к неразделенным 17 сотням 56 единиц из делимого, получим 1756. В этом числе делитель 2800 не помещается ни один раз, значит, 1756 – это остаток: \(\textcolor{red} {284556\div 2800=101}\) (остаток 1756).
Запишите: Чтобы разделить какое-нибудь число на число, заканчивающееся нулями, нужно отбросить мысленно нули в делителе, в делимом тоже отбросить мысленно такое же количество цифр, как и нулей в делителе. Получившееся число в делимом разделить на получившееся число в делителе, а к остатку прибавить (снести) те цифры делимого, которые отбросили ранее.
Деление дроби на число.
Чтобы разделить дробь на число, нужно знаменатель дроби умножить на число.
\(\bf \frac{a}{b} \div n = \frac{a}{b} \div \frac{n}{1} = \frac{a}{b} \times \frac{1}{n}\\\)
Рассмотрим пример:
Выполните деления дроби на натуральное число \(\frac{4}{7} \div 3\).
Как мы уже знаем, что любое число можно представить в виде дроби \(3 = \frac{3}{1} \).
\(\frac{4}{7} \div 3 = \frac{4}{7} \div \frac{3}{1} = \frac{4}{7} \times \frac{1}{3} = \frac{4 \times 1}{7 \times 3} = \frac{4}{21}\\\)
Проверка деления
Так как делимое – это делитель, умноженный на частное и плюс остаток, что следует из определения деления, то результат выполнения деления можно проверить умножением.
Например:
После того, как мы умножили частное 241 на делитель 33, а к полученному произведению прибавили остаток 9, мы получили число 7962, что равно делимому. Значит, можно с большой уверенностью сказать, что действие деление выполнено верно.
Если в результате действия деления не получилось остатка, то деление можно проверить и делением. Действительно, если делимое – это произведение делителя и частного, то разделив делимое на частное (один из сомножителей), мы должны получить второй сомножитель, то есть, делитель.
Например:
Линейные уравнения для 5 класса
Одним из самых важных навыков при поступлении в 5 класс
является умение решать простейшие уравнения. Так как 5 класс ещё не так далек от начальной школы, то и видов уравнений, которые может решать ученик не так уж и много. Мы познакомим Вас со всеми основными видами уравнений, которые необходимо уметь решать, если Вы хотите
поступить в физико-математическую школу
.
1 тип: «луковичные» Это уравнения, которые почти со вероятностью встретятся Вам при поступлении в любую школу
или кружок 5 класса как отдельное задание. Их легко отличить от других: в них переменная присутствует только 1 раз. Например, или . Решаются они очень просто: необходимо просто «добраться» до неизвестной, постепенно «снимая» всё лишнее, что окружает её — как будто почистить луковицу — отсюда и такое название. Для решения достаточно помнить несколько правил из второго класса. Перечислим их все:
Сложение
- слагаемое1 + слагаемое2 = сумма
- слагаемое1 = сумма — слагаемое2
- слагаемое2 = сумма — слагаемое1
Вычитание
- уменьшаемое — вычитаемое = разность
- уменьшаемое = вычитаемое + разность
- вычитаемое = уменьшаемое — разность
Умножение
- множитель1 * множитель2 = произведение
- множитель1 = произведение : множитель2
- множитель2 = произведение : множитель1
Деление
- делимое : делитель = частное
- делимое = делитель * частное
- делитель = делимое : частное
Разберём на примере, как применять данные правила. Заметим, что мы делим на и получаем . В этой ситуации мы знаем делитель и частное. Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на частное: Мы стали немного ближе к самому . Теперь мы видим, что к прибавляется и получается . Значит, чтобы найти одно из слагаемых, нужно из суммы вычесть известное слагаемое: И ещё один «слой» снят с неизвестной! Теперь мы видим ситуацию с известным значением произведения () и одним известным множителем (). Теперь ситуация «уменьшаемое — вычитаемое = разность» И последний шаг — известное произведение () и один из множителей ()
2 тип: уравнения со скобками Уравнения данного типа чаще всего встречаются в задачах — именно к ним сводится 90% всех задач для поступления в 5 класс
. В отличие от
«луковичных уравнений»
переменная здесь может встретиться несколько раз, поэтому решить её методами из предыдущего пункта невозможно. Типичные уравнения: или Основная трудность — это правильно раскрыть скобки. После того, как удалось это верно сделать, следует привести подобные слагаемые (числа к числам, переменные к переменным), а после этого мы получаем самое простое
«луковичное уравнение»
, которое умеем решать. Но обо всём по-порядку.
Раскрытие скобок
. Мы приведём несколько правил, которыми следует пользоваться в данном случае. Но, как показывает практика, верно раскрывать скобки ученик начинает только после 70-80 прорешанных задач. Основное правило таково: любой множитель, стоящий за скобками необходимо умножить на каждое слагаемое внутри скобок. А минус, стоящий перед скобкой, меняет знак всех выражений, что стоят внутри. Итак, основные правила раскрытия:
Приведение подобных
. Здесь всё гораздо легче: Вам необходимо путём переноса слагаемых через знак равенства добиться того, чтобы с одной стороны стояли только слагаемые с неизвестной, а с другой — только числа. Основное правило таково: каждое слагаемое, переносимое через , меняет свой знак — если оно было с ,то станет с , и наоборот. После успешного переноса необходимо сосчитать итоговое количество неизвестных, итоговое число стоящее с другой стороны равенства, нежели переменные, и решить простое
«луковичное уравнение»
.
Приведём пример: (раскроем скобки. Обратите внимание на смену знаков!) (выполним умножения) (перенесём , и через знак равенства — они «превратятся» в , и ) (посчитаем итоговое количество справа и число слева) (ситуация «известный множитель и произведение»)
Освоив эти два типа уравнений, Вы можете быть уверенны, что сможете решить добрую половину всех заданий во вступительной олимпиаде в 5 класс
.
Свойства деления
Свойства деления я представлю двумя группами:
- действия с единицей и нулем;
- распределительные свойства деления.
Давайте рассмотрим каждую группу подробнее.
Действия деления с единицей и нулем
При делении числа на единицу получается то же самое число.
Действительно, разделить число на единицу означает узнать, сколько единиц содержится в данном числе. А количество единиц в числе – это не что иное, как само это число.
И ли вот, например, если 10 яблок нужно раздать одному человеку (10 поделить на 1), то ему все эти 10 яблок и достанутся, правда?
При деление одинаковых чисел (числа на равное число) в результате будет 1 (единица).
В самом деле, если все единицы какого-то числа разделить на количество частей, равное количеству единиц этого числа, то в каждая часть получит по 1 единице.
Например, если 20 яблок раздать 20 школьникам, то каждому достанется по 1 яблоку.
При делении нуля на любое число, отличное от нуля, в результате будет нуль.
Разделить нуль на число означает найти такое число, умножив которое на данный делитель, мы получим в результате нуль. А такое число только одно – это нуль.
На нуль делить нельзя, то есть, нуль не может выступать в роли делителя.
При делении каких угодно чисел делителем может быть любое число, кроме нуля.
Рассмотрим два случая: когда нулём является только делитель, и когда делимое и делитель оба нули.
Пусть делимое равно какому угодно числу, отличному от нуля, например, 12. Разделить число 12 на нуль – это значит найти такое число, которое при умножении на 0 дало бы в результате число 12. Но как известно, если любое число умножить на 0, то и получим тоже нуль. Следовательно, такого числа, какое нам нужно, не существует.
Допустим, что делимое и делитель оба являются нулями. В этом случае нам нужно отыскать такое число, которое при умножении на 0 дало бы в результате 0. А поскольку какое бы мы ни взяли число, при умножении его на 0, получим тоже нуль, то частным может выступать любое число из бесконечного множества чисел, следовательно, какого-то определенного результата от такого деления быть не может.
Распределительные свойства деления
Чтобы найти частное от деления суммы на число, нужно поделить каждое слагаемое на это число, и найти сумму полученных частных. \(\textcolor{red} {(a+b+c)\div d=a\div d+b\div d+c\div d}\). При этом подразумевается, что все действия деления получаются без остатка.
Например, чтобы найти результат деления суммы \(\textcolor{red} {24+16+48}\) на 8, то есть, определить, какое количество восьмерок находится в сумме этих чисел, мы узнаем, сколько раз восьмерка содержится отдельно в каждом из чисел, а потом складываем полученные результаты.
Так, в 24 находится 3 восьмерки, в 16 – две, в 48 – шесть, итого \(\textcolor{red} {3+2+6=11}\). А если мы сперва найдем значение всей суммы \(\textcolor{red} {24+16+48=88}\), и поделим ее на 8, то ответ будет также \(\textcolor{red} {88\div 8=11}\).
Чтобы найти частное от деления разности на число, нужно поделить на это число отдельно сперва уменьшаемое, а потом вычитаемое, после чего найти разность первого частного и второго. \(\textcolor{red} {(a-b)\div c=a\div c-b\div c}\) При этом также предполагается, что при делениях уменьшаемого и вычитаемого на число не получается остатков.
Например: \[\textcolor{red} {(36-24)\div 6=36\div 6-24\div 6=6-4=2}\] Число 36 состоит из 6 шестерок, а 24 – из 4 шестерок, а забрав у 6 шестерок 4 шестерки, получим 2 шестерки. Такой же итог будет и если мы сперва у 36 отнимем 24 единицы (останется 12), а потом найдем, сколько в этой разнице содержится шестерок: \(\textcolor{red} {12\div 6=2}\).
Чтобы найти частное от деления произведения на число, нужно поделить на него только один из сомножителей, а результат умножить на неизмененные остальные. \(\textcolor{red} {(a\cdot b\cdot c)\div d=a\div d\cdot b\cdot c=b\div d\cdot a\cdot c=c\div d\cdot a\cdot b}\).
В самом деле, разделить, к примеру, \(\textcolor{red} {20\cdot 25\cdot 35}\) на 5 означает уменьшить произведение в 5 раз. А так как если уменьшить один из сомножителей в определенное количество раз, то и произведение уменьшится в это же количество раз, тогда нам достаточно разделить любое из чисел 20, 25 или 35 на 5, чтобы получить ответ: \(\textcolor{red} {(20\cdot 25\cdot 35)\div 5=20\div 5\cdot 25\cdot 35=3500}\).
Чтобы найти частное от деления числа на произведение, нужно это число поделить на первый сомножитель, результат деления поделить на второй сомножитель, полученное частное – на третий и так далее. \(\textcolor{red} {a\div (b\cdot c\cdot d\cdot e)=a\div b\div c\div e}\). При этом предполагается, что при всех этих делениях не получается остатков.
Допустим, нужно поделить 30 на произведение \(\textcolor{red} {2\cdot 3}\). Мы знаем, что деление – это разложение числа на равные части. Значит, разделив 30 единиц на 2, мы находим, что в каждой из 2 равных частей содержится по 15 единиц. После этого мы эти 15 единиц делим на 3 равные части, и узнаем, что каждая из них содержит по 5 единиц.
На рисунке наглядно видно, что в итоге после применения этого правила, число 30 получилось разделенным на 6 равных частей.
Какие дроби нельзя делить?
Это очень интересный вопрос. Делить можно только существующие дроби. Что это значит? Есть целый ряд дробей, которые в рамках математики 5 класса и вообще школьной математике не рассматриваются – это дроби со знаменателем, равным 0. Таких дробей не существует, а значит и делить на них нельзя.
Так же, как нельзя делить на ноль. То есть, если делитель выступает дробью с числителем, равным нулю, то на такой делитель разделить не получится.
Если перевернуть дробь с числителем, равным нулю, то вместо числа, равного нулю, получится дробь со знаменателем ноль. Такого числа не существует, а потому на него так же делить нельзя. Поэтому не имеет значения, какой способ деления выбрать: на такие числа делить все равно нельзя.
И наоборот, если делимое равно нулю или дроби с числителем, равным нулю, то можно смело делить дробь на дробь и получить в результате ноль.
