Проект «Музыкальная математика»
Интересно и то, что когда музыканты воспринимают музыкальные интервалы, то в их воображении автоматически возникает числовой ряд, отрезок которого равен определенному интервальному отрезку, т.е. представляется отрезок чисел от 1 до 4 — если слышат кварту, от 1 до 7, если септиму и т.д.
Рис. 6. Определение интервалов в произведении П.Чайковского «Утреннее размышление»
Таким образом, мы убедилась, что математика и музыка – очень приближенные друг к другу науки. Без математики просто невозможно описать и сыграть музыкальное произведение. Чтобы хорошо разбираться в музыке, необходимы математические познания.
Глава 2. Основная научно-исследовательская часть
2.1.Методы и материалы опроса.
Следуя теории Пифагора числа обладают абсолютной властью над всеми событиями, над всеми живыми существами, а значит, числа правят музыкой. В своих работах он утверждал, что музыка подчиняется высшему закону(математике) и в следствии этого восстанавливает в организме человека гармонию.
Попробуем установить связь между числами и музыкой.
Нами были исследованы даты рождения учащихся нашего класса.
Даты рождения – это ряд чисел. Мы переложили даты на ноты. Каждой ноте мы присвоили номер ступени. До -0, ре-1, ми- 2, фа -3, соль -4, ля -5, си – 6, до-7, ре-8, ми-9. У каждого человека получился свой звуковой ряд.
Прослушав звучание, мы заметили, что часть из них имеет
благозвучное звучание, вторая часть имеет резко выраженный звук, а некоторые совсем не созвучны.
Установили связь между звучанием даты рождения и
способностями человека. Для этого провели опрос среди учеников нашего класса. В нем принял участие 30 человек. Мы выяснили направленность увлечений наших ребят.
2.2.Результаты исследования.
Исследование показало, что:
в первой группе, где звуковой ряд звучит мелодично, оказались дети с творческими наклонностями (занимаются музыкой, вокалом, танцами, рисованием);
во второй группе, где звуковой ряд имеет резко выраженный звук, оказались дети, у которых склонность к точным наукам (увлекаются шахматами);
в третьей группе, где звуковой ряд совсем не созвучен, оказались дети ни чем не увлекающиеся.
Мы провели исследование дат рождений одноклассников. То, что музыка отражает в себе закономерность числового ряда и, как следствие, имеется связь между звучанием дат рождений и наклонностями человека, находит подтверждение в нашем исследовании. Но для утверждения того, что звучание даты рождения определяет определенный тип особенностей человека, необходимо большее количеств исследуемых. Если в последующем, при более глубоком и многочисленным исследовании, наше предложение будет доказано, это даст человеку еще один способ открыть себя, определить род занятий, выбрать профессию, где наиболее полно раскроется потенциал личности.
Музыка и математика. Часть I
Пифагор Расхожий стереотип о человеческой природе – разделение на «рациональных» физиков и «эмоциональных» лириков.
Однако это не вполне соответствует действительности. И музыка, которая кажется воплощением эмоциональности, как раз может это отлично проиллюстрировать.
«Вначале было число», – так можно начать рассказ о музыке. Идея того, что возможно «поверить алгеброй гармонию», по традиции приписывается Пифагору.
С древних времен музыка использовалась в ритуалах и мистериях разных народов, но до него никто не задумывался, почему какие-то музыкальные созвучия приятны на слух, а какие-то звучат резко и раздражают. Для своих экспериментов Пифагор использовал инструмент монохорд, который, опять-таки согласно традиции, сам и изобрел.
Хоть инструмент и называется монохорд, у него было две струны, одна с неизменным тоном, а другая при помощи нехитрого механизма меняла свое звучание по воле экспериментатора. Изменяя пропорциональное соотношение двух звучащих струн Пифагор пришел к основополагающему для всей истории музыки выводу – пропорция имеет прямое отношение к звучанию, и качество этого звучания выражается числом!
Монохорд Пифагора
Эта идея имела в то время отношение не только к музыке, но и к мирозданию в целом. Для Пифагора и его последователей пифагорейцев математика была божественной наукой, открывающей законы красоты Вселенной, и музыка была также причастной божественному.
Весь мир имел пропорции, а значит, звучал. Сегодня идея «гармонии сфер» воспринимается как красивая метафора, а в то время она имела вполне конкретный смысл: планеты издают звуки при движении, и эти звуки соотносятся друг с другом, как музыкальные созвучия.
По легенде Пифагор был единственным человеком, который слышал эту «небесную музыку», остальные же не способны ее воспринять, так как она звучит все время и люди привыкают к ней с рождения.
Логичным продолжением открытия Пифагора явилась идея разделения созвучий на консонансы и диссонансы. Без этих понятий музыка европейской традиции не могла бы состояться в том виде, в котором мы ее знаем.
Под консонансом понимается созвучие, вызывающее ощущение покоя, гармонии, устойчивости. С математических позиций консонансы выражаются более простым отношением чисел: чистая октава – 1/2, чистая квинта – 2/3, чистая кварта – 3/4.
Диссонансы же звучат беспокойно, резко, создают ощущение незавершенности и выражаются более сложным числовым отношением (например, большая септима – 8/15, малая секунда – 15/16). Следствием незавершенности явилась зависимость – диссонанс использовался только в связке с консонансом, то есть требовал разрешения.
С развитием теории музыки консонантность октавы и квинты сомнению не подвергалась, а вот по поводу остальных созвучий, или интервалов, в разное время возникали сомнения. К тому же система все время усложнялась, ведь чем больше голосов появлялось в сочинениях, чем сложнее становилась музыкальная ткань, тем в более сложные взаимоотношения вступали созвучия (уже не только собственно интервалы, но и аккорды) между собой.
Все эти нюансы и споры о них могли бы так и остаться в области музыкальной схоластики, но представления о консонансах и диссонансах были краеугольным камнем для музыкальной практики, для стилистики и звучания сочинений, написанных под влиянием тех или иных систем.
Начиная со Средневековья теоретическая мысль постепенно шла по пути «реабилитации» диссонанса, а затем и вовсе к его «раскрепощению» (то есть пониманию его уже не как зависимого от консонанса, а совершенно самодостаточного), что стало предпосылкой для развития музыки в ХХ веке.
Для сравнения можно послушать несколько сочинений, написанных в разные эпохи, с различным пониманием взаимоотношений диссонансов и консонансов. Эти примеры не отражают всех этапов развития этой теоретической идеи, но дают представление о том, насколько разная это музыка.
Имея представление о том, что звуки складываются в интервалы согласно своим пропорциональным отношениям, закономерно было начать попытки как-то все это систематизировать. Так появилась идея звукоряда (постепенно убывающей/прибывающей последовательности звуков, понимаемых в этом случае как ступеней – аналогия с лестницей вполне уместна) и музыкального строя (системы, определяющей принципы расчета, по которым эти ступени выстраивались относительно друг друга).
Таким образом стало возможным создать что-то вроде алфавита, перечня имеющихся звуков в звукоряде или гамме (это не полностью синонимы, но очень близкие понятия), при сочетании которых музыканты получали ожидаемые звуковые результаты.
История знает несколько основных строев, которые основывались на разных принципах, но все они имели свои недостатки и особенности и не были универсальными. Основной проблемой было то, что не удавалось найти такие пропорциональные отношения звуков, чтобы консонантные интервалы на любой высоте звучали «чисто».
Особенно это было важно для клавишных инструментов, так как они, в отличие от струнных, не позволяли по слуху скорректировать звучание «грязных» интервалов во время исполнения. Решение было найдено при помощи темперации – сужения или расширения интервалов по сравнению с чистыми, выведенными еще Пифагором.
Так появился равномерно темперированный строй, который господствует в европейской музыке с XVIII века и до настоящего времени. Помогли математические расчеты: октава была поделена на 12 равных отрезков-полутонов, что позволило полностью унифицировать звучание всех интервалов на любой высоте. Так стало возможным сочинять произведения в разных тональностях, а также легко переходить, то есть модулировать, из одной в другую, не боясь получить нежелательное плохо звучащее созвучие.
Одно из самых известных сочинений Баха – «Хорошо темперированный клавир» – уже самим своим названием указывает на то, что создано оно было в эпоху поисков универсального строя и действительно «хорошего» звучания «клавира», то есть клавишных инструментов.
Нет единого мнения о том, писал ли Бах свои произведения для нового равномерно темперированного строя или для близкого ему, но факт остается фактом – этот цикл стал весомым аргументом в пользу темперации.
По мнению многих современников этой реформы темперированные интервалы потеряли свою красоту и «чистоту», оказавшись «усредненными». Однако было много и сторонников, которые указывали на удобство практического применения, и в конечном итоге практика победила.
Измерять можно не только отношения между звуками, но и сам звук как физическое явление, это область музыкальной акустики. Звук – это волна, а высота звучания зависит от частоты колебаний. Существует специальная единица измерения этой частоты – Герц (Hz), названная в честь немецкого ученого Генриха Герца. 1 Герц – одно колебание в секунду.
Если музыкальный строй решал вопрос соотношений между звуками, то при помощи новой единицы измерения стало возможно установить значение камертона, то есть эталона высоты звука, применяемого для настройки инструментов. В качестве камертона обычно используется звук ля первой октавы.
На данный момент нет общепринятого стандарта, но наиболее распространенным для академической музыки с середины XIX века является ля 440 Hz. В целом можно сказать, что значение это имеет тенденцию к повышению. Например, музыка французского барокко исполнялась при ля 392 Hz, музыка Баха и большинства современников – 415 Hz, для венской классики и раннего романтизма было характерно значение 430 Hz.
Сейчас камертон продолжает повышение – многие оркестры настраиваются по эталону 442-443 Hz. Самое высокое значение на сегодняшний день в Вене, там настраивают ля 444-445 Hz. Эти особенности имеют прямое отношение к исполнению произведений, ведь чем выше настраиваются инструменты, тем более напряженно звучит музыка, да и музыкантам приходится больше напрягаться, особенно певцам.
Влияет это и на восприятие: более высокая настройка придает музыке более светлый колорит, более низкая – приглушенность, темный оттенок. Для сравнения звучания можно послушать два варианта одного и того же сочинения Баха, один в современной настройке, другой – в принятой сейчас для исполнения барочной музыки, где ля соответствует 415 Hz.
Продолжение следует.
Елена Гутина, kultprosvet.by
Обертон или тембр
Очень интересным свойством звука является обертон.
Обертоны – призвуки, входящие в спектр музыкального звука. В переводе с немецкого языка, обертон означает «высокий тон» или «высокий звук». А откуда берется этот высокий звук, сейчас и узнаем.
Струна колеблется целиком, вы сами это видели на видео про гитару. Но оказывается, каждая часть струны тоже вибрирует и издает звук. Не такой громкий как основной тон, но вполне ощутимый.
Еще Пифагор определил принцип, по которому возникают обертоны. Он заключается в следующем:
Первый обертон возникает от вибрации половины звучащего тела – в нашем случае струны. То есть, если мы зажмем струну в том месте, где она делится пополам, то звук получится в два раза выше, чем звук полной струны. Это и есть звучание первого обертона. Но чтобы услышать его в чистом виде, нужно использовать специальный прием – флажолет.
Теперь поделим струну на 3 равные части. Одна треть струны даст нам второй обертон. Затем делим струну на 4 части, получаем третий обертон и так далее.
Вот как выглядит колебание струны: 1 – Целая струна; 2 — ее половина – первый обертон; 3 — третья часть – второй обертон и т.д.
Посмотрите, как с помощью флажолетов можно извлечь обертона:
Пифагор установил, что первый обертон звучит выше основного тона на одну октаву. Второй обертон звучит выше первого на квинту; третий – выше второго на кварту; четвертый выше третьего на большую терцию. Потом пойдут малые терции, затем большие и малые секунды. Вот как выглядит обертоновый ряд от ноты до:
Именно от набора и относительной громкости обертонов зависит тембр инструмента, голоса. Именно благодаря тембру, мы можем отличать звук флейты от звука арфы, звук рояля от звука трубы.
Познавательно
Еще обертоны называют гармониками. Гитаристы в своей игре часто используют гармоники как художественный элемент.
Есть и такие мастера, которые вплетают в свою игру флажолеты так умело, что не сразу понятно сколько инструментов звучит. Послушайте как искусно использует гармоники Jaco Pastorius играя на бас-гитаре:
Частота звука или звуковысотность
Представим себе гитару: самая толстая струна натянута не сильно, щипая ее звук получается низким, похожим на жужжание шмеля. А если мы щипнем самую тонкую струну, которая натянута гораздо сильнее, звук получится высоким, похожим на писк комара. Чем чаще колеблется тело издающее звук, тем выше будет этот звук. В данном случае телом можно назвать любой предмет, издающий звук – будь то струна балалайки или мембрана барабана.
Высота звука в физике называется частотой и измеряется в герцах (количество колебаний в секунду). Частота звука в музыке называется звуковысотностью. Ни один музыкант на свете не поймет, какую высоту звука передает нота, если она не располагается на нотном стане. Подробнее о том, как на пяти линейках нотного стана уживаются звуки самой разной высоты, читайте здесь.
Познавательно
Любопытно: нас всегда заставляют думать, будто звук плоский, а его диаграмма выглядит вот так:
Однако науке уже давно известно, что звук — это волна. А это значит, что звук объёмен и представляет собой спираль, но не совсем такую, какой вы ее представили.
Английский ученый Роберт Гук еще в 17 веке доказал, что что высота звука определяется частотой колебаний, а также он был первым кто сделал интересный опыт:
Гук взял металлическую пластину, насыпал на нее муку и начал возбуждать пластину скрипичным смычком. Мука на пластине приняла форму напоминающую снежинку или орнамент.
В наше время проделать этот опыт гораздо проще: под пластину ставят мощный динамик, после чего меняют частоту звука. Результатом опыта являются кружевные узоры на песке, который находится на пластине:
