12 ноября 2017
- Домашнее задание
- Ответы
Для начала — немного лирики, чтобы почувствовать проблему, которую решает метод интервалов. Допустим, нам надо решить вот такое неравенство:
(x − 5)(x + 3) > 0
Какие есть варианты? Первое, что приходит в голову большинству учеников — это правила «плюс на плюс дает плюс» и «минус на минус дает плюс». Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда обе скобки положительны: x − 5 > 0 и x + 3 > 0. Затем также рассмотрим случай, когда обе скобки отрицательны: x − 5 < 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:
Более продвинутые ученики вспомнят (может быть), что слева стоит квадратичная функция, график которой — парабола. Причем эта парабола пересекает ось OX в точках x = 5 и x = −3. Для дальнейшей работы надо раскрыть скобки. Имеем:
x2 − 2x − 15 > 0
Теперь понятно, что ветви параболы направлены вверх, т.к. коэффициент a = 1 > 0. Попробуем нарисовать схему этой параболы:
Функция больше нуля там, где она проходит выше оси OX. В нашем случае это интервалы (−∞ −3) и (5; +∞) — это и есть ответ.
Обратите внимание: на рисунке изображена именно схема функции, а не ее график. Потому что для настоящего графика надо считать координаты, рассчитывать смещения и прочую хрень, которая нам сейчас совершенно ни к чему.
Почему эти методы неэффективны?
Итак, мы рассмотрели два решения одного и того же неравенства. Оба они оказались весьма громоздкими. В первом решении возникает — вы только вдумайтесь! — совокупность систем неравенств. Второе решение тоже не особо легкое: нужно помнить график параболы и еще кучу мелких фактов.
Это было очень простое неравенство. В нем всего 2 множителя. А теперь представьте, что множителей будет не 2, а хотя бы 4. Например:
(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9) < 0
Как решать такое неравенство? Перебирать все возможные комбинации плюсов и минусов? Да мы уснем быстрее, чем найдем решение. Рисовать график — тоже не вариант, поскольку непонятно, как ведет себя такая функция на координатной плоскости.
Для таких неравенств нужен специальный алгоритм решения, который мы сегодня и рассмотрим.
Рациональные неравенства. Метод интервалов
Обобщение метода интервалов для целых рациональных неравенств любой степени
В общем случае в целом рациональном неравенстве слева стоит многочлен степени n:
$$ P_n (x) = a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+⋯+a_1 x+a_0 $$
где x — переменная, $a_i \in \Bbb, i = \overline{0,n} $ — некоторые действительные числа, причем $a_n \neq 0$.
Корнем многочлена $P_n (x)$ называют такое действительное число c, что при его подстановке $P_n (c)$ = 0.
Например:
Рассмотрим многочлен 2й степени: $P_2 (x) = x^2+5x+6$
x = -3 является его корнем, т.к. $P_2 (-3) = (-3)^2+5 \cdot (-3)+6 = 0$
x = -2 является его корнем, т.к. $P_2 (-2) = (-2)^2+5 \cdot (-2)+6 = 0$
При этом: $P_2 (x) = (x+3)(x+2)$
Если c — корень многочлена $P_n (x)$, то многочлен делится на (x-c) без остатка.
СЛУЧАЙ 1. Линейные сомножители в 1-й степени
Пусть многочлен $P_n (x)$ имеет n различных корней $c_i,i = \overline{1,n}$. Тогда его можно представить в виде произведения:
$$ P_n (x) = (x-c_1 )(x-c_2 )…(x-c_n ) $$
Алгоритм решения неравенства $(x-c_1 )(x-c_2 )…(x-c_n ) \gt 0$ методом интервалов
Пусть для определенности $c_1 \lt c_2 \lt ⋯ \lt c_n$. Этого всегда можно добиться, т.к. от перестановки сомножителей произведение не изменяется.
Шаг 1.
Отметить на числовой прямой корни $c_1,c_2,…c_n$. Т.к. неравенство строгое, точки должны быть «белыми». Числовая прямая будет поделена на n+1 областей:
1) левее $c_1$; 2) между $c_1$ и $c_2$; 3) между $c_2$ и $c_3$; …;n+1) правее $c_n$.
Шаг 2.
Из каждой области выбрать произвольный x, подставить в выражение слева, определить его знак, пометить область «+» или «-».
Шаг 3.
Выбрать области, помеченные «+». Записать ответ как объединение этих промежутков.
При решении неравенства $(x-c_1 )(x-c_2 )…(x-c_n ) \lt 0$ последовательность шагов аналогична, только в ответ нужно отбирать области, помеченные «-».
Для нестрогих неравенств действуем также, только точки на прямой должны быть «чёрными» и включаться в множество решений (с помощью квадратных скобок).
Например:
Решим неравенство $(x-4)(x+3)(x-1) \lt 0$
Отмечаем на прямой корни (т.е. такие x, которые обращают каждую из скобок в 0).
Неравенство строгое – все точки на числовой прямой «белые»:
Числовая прямая делится на 4 области:
1) левее -3; 2) между -3 и 1; 3) между 1 и 4; 4) правее 4.
Из каждой области выбираем произвольный x, подставляем в (x-4)(x+3)(x-1), и находим знак произведения скобок:
По условию произведение $ \lt 0$, т.е. выбираем промежутки, помеченные «-».
Ответ: $x \in (-\infty;-3) \cup (1;4)$.
СЛУЧАЙ 2. Линейные сомножители в степени $m \ge 2$
Пусть многочлен $P_n (x)$ имеет $k \lt n$ различных корней $c_i,i = \overline{1,k}$, при этом некоторые корни повторяются (являются кратными
). Тогда его можно записать в виде:
$$ P_n (x) = (x-c_1 )^{p_1} (x-c_2 )^{p_2}…(x-c_k )^{p_k}$$
где $p_i \ge 1, i = \overline{1,k} $ – кратности соответствующих корней (степени скобок).
$P_3 (x) = (x-1)^2 (x+2) $
$P_5 (x) = x(x+3) (x-5)^3$
Алгоритм решения строгого неравенства вида $(x-c_1 )^{p_1} (x-c_2 )^{p_2}…(x-c_k )^{p_k} \gt 0$ или $(x-c_1 )^{p_1} (x-c_2 )^{p_2}…(x-c_k )^{p_k} \lt 0$ методом интервалов
Шаг 1.
Заменить все скобки с нечётными степенями $p_i \gt 1$ на такие же скобки в 1-й степени.
Шаг 2.
Убрать все скобки с чётными степенями $p_i \gt 1$, как не влияющие на знак; добавить требование $x \neq c_i$, где $c_i$ — соответствующие корни из этих скобок, в систему.
Шаг 3.
Решить полученное неравенство с линейными сомножителями в 1-й степени. Исключить корни вида $x = c_i$ шага 2.
Например:
1. Решим неравенство: $(x-1)^2 (x+2) \gt 0$
Убираем первую скобку с квадратом (чётная степень) и добавляем требование $x \neq 1$ в систему:
${\left\{ \begin{array}{c} x+2 \gt 0 \\ x \neq 1 \end{array} \right.} \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} x \gt -2 \\ x \neq 1\end{array} \right.} \Rightarrow x \in (-2;1) \cup (1;+\infty) $
2. Решим неравенство: $x(x+3) (x-5)^3 \lt 0$
Заменяем третью скобку с кубом (нечетная степень) на скобку в первой степени:
$ x(x+3)(x-5) \lt 0 $
Решаем полученное неравенство с линейными сомножителями в 1-й степени.
Неравенство строгое – все точки на числовой прямой «белые»:
Выбираем промежутки, помеченные «-»: $x \in (- \infty;-3) \cup (0;5)$.
Алгоритм решения нестрогого неравенства вида $(x-c_1 )^{p_1} (x-c_2 )^{p_2}…(x-c_k )^{p_k} \ge 0$ или $(x-c_1 )^{p_1} (x-c_2 )^{p_2}…(x-c_k )^{p_k} \le 0$ методом интервалов
Шаг 1.
Заменить все скобки с нечётными степенями $p_i \gt 1$ на такие же скобки в 1-й степени.
Шаг 2.
Убрать все скобки с чётными степенями $p_i \gt 1$, как не влияющие на знак, добавить решение $x = c_i$, где $c_i$ — соответствующие корни из этих скобок, в совокупность.
Шаг 3.
Решить полученное неравенство с линейными сомножителями в 1-й степени. Добавить корни вида $x = c_i$ шага 2.
Например:
1. Решим неравенство: $(x-1)^2 (x+2) \le 0$
Убираем первую скобку с квадратом (чётная степень), записываем корень из этой скобки в совокупность:
$ \left[ \begin{array}{cc} x+2 \le 0 \\ x = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x \le -2 \\ x = 1 \end{array} \right. \Rightarrow x \in (-\infty;-2] \cup \{1\} $
2. Решим неравенство: $x(x+3) (x-5)^3 \le 0$
Заменяем третью скобку с кубом (нечетная степень) на скобку в первой степени:
$x(x+3)(x-5) \le 0 $
Решаем полученное неравенство с линейными сомножителями в 1-й степени.
Неравенство нестрогое – все точки на числовой прямой «чёрные»:
Выбираем промежутки, помеченные «-»: $x \in (- \infty;-3] \cup [0;5]$.
СЛУЧАЙ 3. Квадратичные сомножители $x^2+px+q$, которые не раскладываются на линейные
Многочлен $P_n (x)$ может раскладываться не только на линейные скобки. В ходе разложения можно получить квадратичные скобки $x^2+px+q$, которые больше не раскладываются $( D = p^2-4q \lt 0)$.
Мы уже знаем, что парабола $y(x) = x^2+px+q$ в этом случае $(a \gt 0, D \lt 0)$ будет всегда положительной.
Поэтому, при решении неравенств, такие скобки просто убираются, т.к. на знак выражения они не влияют
.
Например:
Решим неравенство: $(x^2+4)(x^3-1) \lt 0$
$(x^2+4)$ на линейные сомножители не раскладывается, $x^2+4 \ge 4 \gt 0$ — на знак всего выражения не влияет, его можно убрать.
Решаем $x^3-1 \lt 0$. Раскладываем разность кубов на множители:
$$ (x-1)(x^2+x+1) \lt 0 $$
У второй скобки $(x^2+x+1)$ дискриминант $D = 1-4 = -3 \lt 0$ отрицательный, и скобка на линейные множители не раскладывается. Она всегда положительна, её можно убрать. Получаем:
$x-1 \lt 0 \Rightarrow x \lt 1$
Ответ:
$x \in (- \infty;1)$
Что такое метод интервалов
Метод интервалов — это специальный алгоритм, предназначенный для решения сложных неравенств вида f (x) > 0 и f (x) < 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:
- Решить уравнение f (x) = 0. Таким образом, вместо неравенства получаем уравнение, которое решается намного проще;
- Отметить все полученные корни на координатной прямой. Таким образом, прямая разделится на несколько интервалов;
- Выяснить знак (плюс или минус) функции f (x) на самом правом интервале. Для этого достаточно подставить в f (x) любое число, которое будет правее всех отмеченных корней;
- Отметить знаки на остальных интервалах. Для этого достаточно запомнить, что при переходе через каждый корень знак меняется.
Вот и все! После этого останется лишь выписать интервалы, которые нас интересуют. Они о, если неравенство имело вид f (x) > 0, или знаком «−», если неравенство имеет вид f (x) < 0.
На первый взгляд может показаться, что метод интервалов — это какая-то жесть. Но на практике все будет очень просто. Стоит чуть-чуть потренироваться — и все станет понятно. Взгляните на примеры — и убедитесь в этом сами:
Задача. Решите неравенство:
(x − 2)(x + 7) < 0
Работаем по методу интервалов. Шаг 1: заменяем неравенство уравнением и решаем его:
(x − 2)(x + 7) = 0
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
x − 2 = 0 ⇒ x = 2; x + 7 = 0 ⇒ x = −7.
Получили два корня. Переходим к шагу 2: отмечаем эти корни на координатной прямой. Имеем:
Теперь шаг 3: находим знак функции на самом правом интервале (правее отмеченной точки x = 2). Для этого надо взять любое число, которое больше числа x = 2. Например, возьмем x = 3 (но никто не запрещает взять x = 4, x = 10 и даже x = 10 000). Получим:
f (x) = (x − 2)(x + 7); x = 3; f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 · 10 = 10;
Получаем, что f(3) = 10 > 0, поэтому в самом правом интервале ставим знак плюс.
Переходим к последнему пункту — надо отметить знаки на остальных интервалах. Помним, что при переходе через каждый корень знак должен меняться. Например, справа от корня x = 2 стоит плюс (мы убедились в этом на предыдущем шаге), поэтому слева обязан стоять минус.
Этот минус распространяется на весь интервал (−7; 2), поэтому справа от корня x = −7 стоит минус. Следовательно, слева от корня x = −7 стоит плюс. Осталось отметить эти знаки на координатной оси. Имеем:
Вернемся к исходному неравенству, которое имело вид:
(x − 2)(x + 7) < 0
Итак, функция должна быть меньше нуля. Значит, нас интересует знак минус, который возникает лишь на одном интервале: (−7; 2). Это и будет ответ.
Задача. Решите неравенство:
(x + 9)(x − 3)(1 − x) < 0
Шаг 1: приравниваем левую часть к нулю:
(x + 9)(x − 3)(1 − x) = 0; x + 9 = 0 ⇒ x = −9; x − 3 = 0 ⇒ x = 3; 1 − x = 0 ⇒ x = 1.
Помните: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Именно поэтому мы вправе приравнять к нулю каждую отдельную скобку.
Шаг 2: отмечаем все корни на координатной прямой:
Шаг 3: выясняем знак самого правого промежутка. Берем любое число, которое больше, чем x = 1. Например, можно взять x = 10. Имеем:
f (x) = (x + 9)(x − 3)(1 − x); x = 10; f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 · 7 · (−9) = − 1197; f (10) = −1197 < 0.
Шаг 4: расставляем остальные знаки. Помним, что при переходе через каждый корень знак меняется. В итоге наша картинка будет выглядеть следующим образом:
Вот и все. Осталось лишь выписать ответ. Взгляните еще раз на исходное неравенство:
(x + 9)(x − 3)(1 − x) < 0
Это неравенство вида f (x) < 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:
x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)
Это и есть ответ.
Применение метода интервалов для решения неравенств урок алгебры в 9 классе. — презентация
Применение метода интервалов для решения неравенств урок алгебры в 9 классе
х у 0 Суть метода Пусть функция задана формулой вида В каждом промежутке знак функции сохраняется При переходе через нуль знак функции меняется
Свойство непрерывной функции. Функция Функция непрерывна на области определения и имеет различные нули. Нули функции разбивают область определения на промежутки знакопостоянства, при переходе через нуль знак функции меняется.
Разложить многочлен на простые множители; найти корни многочлена; изобразить их на числовой прямой; разбить числовую прямую на интервалы; определить знаки множителей на интервалах знакопостоянства; выбрать промежутки нужного знака; записать ответ (с помощью скобок или знаков неравенства). План применения метода интервалов !
Решить неравенство ? ? ? ?
Решить неравенство ? Решение. Ответ:
Решить неравенство x + – + – Ответ: ( — 1; 0) (4;+ )
Решить неравенство x + – + – Ответ: (- ; — 1] [1;3]
Метод интервалов используется тогда и только тогда, когда многочлен или дробное выражение сравниваются с нулем Во вторую очередь, раскладывают на множители: многочлен или числитель и знаменатель дробного выражения
Если неравенство приведено к каноническому виду, то на крайнем правом промежутке знак «+». Канонический вид неравенства – это произведение различных двучленов и «нераскладываемых» многочленов, в которых старший коэффициент положительный
Знак неравенства «нестрогий»: на числовой прямой корни многочлена или числителя — закрашенные кружки. Корни знаменателя для «строгих» и «нестрогих» неравенств — «пустые» кружки. Надо штриховать промежутки. Штриховка соответствует знаку неравенства
При записи ответа внимательно отнеситесь к закрашенным точкам числовой прямой. Это решения неравенства. Дробное неравенство – НЕ ПРОПОРЦИЯ, поэтому отбрасывать знаменатель нельзя
1. Решите методом интервалов неравенства: б) 2. Найдите область определения функции: Вариант 1. а) Вариант 2. б) а) Самостоятельная работа !
Проверь своё решение 1. Решите методом интервалов неравенства: Вариант 1. Вариант 2. а) x x 0,4-4 Ответ: 2, – ++ – Ответ:
Проверь своё решение 1. Решите методом интервалов неравенства: Вариант 1. Вариант 2. Ответ: б) x 1/2 -3/2 ++ – x 1/3 -2/3 ++ – Ответ:
Проверь своё решение Вариант 1. Вариант Найдите область определения функции: x 6 0 – + Ответ: x –+ Решение. +
Оценка самостоятельной работы За каждый верно выполненный пример – поставьте 1 балл. 1 балл – удовлетворительно, «3». 2 балла – хорошо, «4». 3 балла – отлично, «5». 0 баллов – плохо, «2». !
Решение рациональных неравенств Умножим обе части такого неравенства на многочлен Знак исходного неравенства не меняется, (т.к ). Получаем неравенство, равносильное данному неравенству, которое решаем методом интервалов. Решение рациональных неравенств равносильно решению системы: Итак: !
Решить неравенство. Решение х + – + Ответ: [-3;0) [4;+) –
Учебник (а,в,д) 198 (а,б,в)
Самостоятельная работа Решите неравенства: Уровень А Уровень В Найдите область определения функции
Если «нераскладываемый» многочлен положительный при всех значениях переменных, то его опускают в неравенстве.
Решение /73 х + – Ответ: (- ; — 2) (4/7;3). Решить неравенство – + Так как х > 0 при любых х, то перейдем к равносильному неравенству
Учебник 199 (а,б)
Решим неравенство Если в разложении многочлена на множители входит сомножитель, то говорят, что — х 0 корень многочлена кратности k. 1) Данный многочлен имеет корни: x = -5, кратности 6; x = -2, кратности 3; x = 0, кратности 1; x = 1, кратности 2; x = 3, кратности 5. 2) Нанесем эти корни на числовую ось. 3) Определим знак многочлена на каждом интервале. + + – – – – 4) Запишем ответ: 5) Рассмотрим смену знаков в корнях различной кратности. МННМ М ! 1
Учебник 199(в,г)
Решите неравенство 1 вариант: 2 вариант: Сделайте выводы о смене знака на интервалах, в зависимости от степени кратности корня.
Проверь своё решение Вариант 1. Вариант 2. Ответ: Ответ:
Обобщая ваши наблюдения, делаем выводы: При четном k многочлен справа и слева от х 0 имеет один и тот же знак (знак многочлена не меняется). 2 При нечетном k многочлен справа и слева от х 0 имеет противоположные знаки (знак многочлена изменяется). 3 Для решения неравенства важно знать, является ли k четным или нечетным числом. 1
Если корни нечетной кратности, то знаки на промежутках чередуются при переходе через корень. Если корни четной кратности, то знаки сохраняются при переходе через корень.
+ – ++ – + Решим неравенство x Ответ: –
. Решение х + – + Ответ: (1;5] {- 2} Решить неравенство +
Решение /3 х + – Ответ: [- 5; — 3) (- 3;- 2/3] Решить неравенство + –
Решить неравенство (x )(x – 4) Решение. (x + 4) (x 2 – 4x +16 ) (x – 4) – х + Ответ: (- ; — 4] {4}. (х )(x – 4) 4 = 0 (x + 4)(х 2 – 4x +16)(x – 4) 4 = 0 (x + 4) (x 2 – 4x +16) (x – 4) 4 0 х 2 – 4x +16 = 0 D = 16 – 64
В дробном неравенстве «совпадающие» множители в числителе и знаменателе переносятся в знаменатель
Решить неравенство. Решение. (х + 3)(х – 1) (х + 4)(х – 4) (х + 1) (х – 1)(х + 3) (х – 3) 0 В числителе и знаменателе есть одинаковые множители (х – 1) 2 (х +3) х + – + + – – + Ответ: (- ; — 4] (- 1; 1) (1;3) [4;+)
Решение. 16,25 х + – Ответ: (1; 6,25). Решить неравенство + Все члены неравенства перенесем в одну сторону и приведем к общему знаменателю, который отбрасывать нельзя
!
! Рефлексия. 1.Что вы ожидали от работы на данном уроке? Сравните свои предварительные цели и реально достигнутые результаты. 2. Какие чувства и ощущения возникали у вас в ходе работы? Что оказалось для вас самым неожиданным? 3. Что вам более всего удалось, какие моменты были выполнены наиболее успешно? 4. Перечислите основные трудности, которые вы испытывали во время урока. Как вы их преодолевали?
Использованные источники 1.Учебник: Алгебра-9 класс, Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, М.: Просвещение, Рурукин А.Н., Полякова С.А., Поурочные разработки по алгебре: 9 класс. – М.: ВАКО, 2010 – (В помощь школьному учителю). 3. Для создания шаблона презентации использовалась картинка и шаблон с сайта Изображение кота
