Урок алгебры в 7 классе по теме «Линейная функция и её график»


Рассмотрение случаев параллельных и совпадающих прямых

Рас­смот­рим при­мер:

При­мер 1:

, ,

По­стро­им гра­фи­ки дан­ных функ­ций. У каж­дой из них . У пер­вой , у вто­рой , у тре­тьей . На­пом­ним, что па­ра­мет­ры k и m опре­де­ля­ют­ся из стан­дарт­но­го вида ли­ней­но­го урав­не­ния , па­ра­метр – это ор­ди­на­та точки пе­ре­се­че­ния пря­мой с осью у. Кроме того, от­ме­тим, что ко­эф­фи­ци­ент от­ве­ча­ет за угол на­кло­на пря­мой к по­ло­жи­тель­но­му на­прав­ле­нию оси х, кроме того, если он по­ло­жи­тель­ный, то функ­ция будет воз­рас­тать, а если от­ри­ца­тель­ный – убы­вать. Ко­эф­фи­ци­ент на­зы­ва­ет­ся уг­ло­вым ко­эф­фи­ци­ен­том.

Со­ста­вим таб­ли­цы для по­стро­е­ния гра­фи­ков:

х 0 -0,5
у 1 0

Таб­ли­ца для пер­вой функ­ции;

х 0 1
у 0 2

Таб­ли­ца для вто­рой функ­ции;

х 0 0,5
у -1 0

Таб­ли­ца для тре­тьей функ­ции;

Оче­вид­но, что все по­стро­ен­ные пря­мые па­рал­лель­ны, по­то­му что их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты оди­на­ко­вы. Функ­ции от­ли­ча­ют­ся толь­ко зна­че­ни­ем m.

Рис. 1.

Сде­ла­ем вывод. Пусть за­да­ны две про­из­воль­ные ли­ней­ные функ­ции:

и

Если но то за­дан­ные пря­мые па­рал­лель­ны.

Если и то за­дан­ные пря­мые сов­па­да­ют.

Изу­че­ние вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния гра­фи­ков ли­ней­ных функ­ций и свойств их па­ра­мет­ров яв­ля­ет­ся ос­но­вой для изу­че­ния си­стем ли­ней­ных урав­не­ний. Мы долж­ны за­пом­нить, что если пря­мые па­рал­лель­ны, то си­сте­ма не будет иметь ре­ше­ний, а если пря­мые сов­па­да­ют – то си­сте­ма будет иметь бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний.

Алгебра. Урок 5. Графики функций

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Декартова система координат
  • Функция

Прямая Парабола Гипербола Квадратный корень

  • Возрастающая/убывающая функция
  • Наибольшее/наименьшее значение функции
  • Примеры решений заданий из ОГЭ

Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.

Координатные оси – прямые, образующие систему координат.

Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.

Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.

Функция – это отображение элементов множества X на множество Y . При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y .

Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.

Графиком линейной функции является прямая линия.

Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :

Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a < 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.

b – точка пересечения прямой с осью y .

Если a = 0 , функция принимает вид y = b .

Отдельно выделим график уравнения x = a .

Важно: это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции ( функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y ). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y . Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».

Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола.

Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a , b , c :

  1. Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.
  • Если a > 0 , ветки параболы направлены вверх.
  • Если a < 0 , ветки параболы направлены вниз.
  1. Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y .
  2. Коэффициент b помогает найти x в – координату вершины параболы.

x в = − b 2 a

  1. Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .
  • Если D > 0 – две точки пересечения.
  • Если D = 0 – одна точка пересечения.
  • Если D < 0 – нет точек пересечения.

Графиком функции y = k x является гипербола.

Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.

Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы

Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.

На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.

Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.

Если k     <     0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.

Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .

Функция y     =     x имеет следующий график:

Функция y   =   f ( x ) возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)

Примеры возрастающих функций:

Функция y   =   f ( x ) убывает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .

То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).

Примеры убывающих функций:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.

Рассмотрение случая пересекающихся прямых

Рас­смот­рим слу­чай, когда уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты не равны. Рас­смот­рим при­мер:

При­мер 3 – найти гра­фи­че­ски точку пе­ре­се­че­ния пря­мых:

Обе функ­ции имеют гра­фик – пря­мую линию.

Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пер­вой функ­ции , вто­рой функ­ции , , зна­чит пря­мые не па­рал­лель­ны и не сов­па­да­ют, зна­чит имеют точку пе­ре­се­че­ния, при чем един­ствен­ную.

Со­ста­вим таб­ли­цы для по­стро­е­ния гра­фи­ков:

х 0 1,5
у -3 0

Таб­ли­ца для пер­вой функ­ции;

х 0 4
у 2 0

Таб­ли­ца для вто­рой функ­ции;

Рис. 6.

Оче­вид­но, что пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке (2; 1)

Про­ве­рим ре­зуль­тат, под­ста­вив по­лу­чен­ные ко­ор­ди­на­ты в каж­дую функ­цию:

Рассмотрение примера на свойства параметров функции

Рас­смот­рим за­да­чи.

При­мер 2 – опре­де­лить знаки па­ра­мет­ров k и m по за­дан­но­му гра­фи­ку функ­ции:

Пря­мая пе­ре­се­ка­ет ось у в по­ло­жи­тель­ном ее луче, зна­чит m имеет знак плюс, угол между пря­мой и по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси х ост­рый, функ­ция воз­рас­та­ет, зна­чит знак k также плюс.

Рис. 2.

Пря­мая пе­ре­се­ка­ет ось у в по­ло­жи­тель­ном ее луче, зна­чит m имеет знак плюс, угол между пря­мой и по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси х тупой, функ­ция убы­ва­ет, зна­чит знак k минус.

Рис. 3.

Пря­мая пе­ре­се­ка­ет ось у в от­ри­ца­тель­ном ее луче, зна­чит m имеет знак минус, угол между пря­мой и по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси х ост­рый, функ­ция воз­рас­та­ет, зна­чит знак k плюс.

Рис. 4.

Пря­мая пе­ре­се­ка­ет ось у в от­ри­ца­тель­ном ее луче, зна­чит m имеет знак минус, угол между пря­мой и по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси х тупой, функ­ция убы­ва­ет, зна­чит знак k также минус.

Рис. 5.

Решение примера, выявление свойств параметров линейной функции

При­мер 2:

По­стро­им гра­фи­ки двух ли­ней­ных функ­ций: (4), (5)

В функ­ции 4

В функ­ции 5

Для по­стро­е­ния гра­фи­ков со­ста­вим таб­ли­цы, в ко­то­рых за­пи­шем точки их пе­ре­се­че­ния с осями ко­ор­ди­нат:

х 0 -3
у m=3 0

Таб­ли­ца для функ­ции 4;

х 0 3
у m=3 0

Таб­ли­ца для функ­ции 5;

Итак, из по­стро­е­ния мы видим, что когда (пря­мая ) угол между пря­мой и по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси х ост­рый, а когда (пря­мая ) угол между пря­мой и по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси х тупой.

Кор­нем функ­ции 4 яв­ля­ет­ся число -3, по­то­му что имен­но при этом зна­че­нии х функ­ция об­ра­ща­ет­ся в ноль.

Кор­нем функ­ции 5 яв­ля­ет­ся число 3, так как при дан­ном зна­че­нии х функ­ция об­ра­ща­ет­ся в ноль.

От­ме­тим, что ре­ше­ни­ем сле­ду­ю­щей си­сте­мы:

Яв­ля­ет­ся точка (0; 3).

Рейтинг
( 2 оценки, среднее 5 из 5 )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Для любых предложений по сайту: [email protected]