Рассмотрение случаев параллельных и совпадающих прямых
Рассмотрим пример:
Пример 1:
, ,
Построим графики данных функций. У каждой из них . У первой , у второй , у третьей . Напомним, что параметры k и m определяются из стандартного вида линейного уравнения , параметр – это ордината точки пересечения прямой с осью у. Кроме того, отметим, что коэффициент отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси х, кроме того, если он положительный, то функция будет возрастать, а если отрицательный – убывать. Коэффициент называется угловым коэффициентом.
Составим таблицы для построения графиков:
| х | 0 | -0,5 |
| у | 1 | 0 |
Таблица для первой функции;
| х | 0 | 1 |
| у | 0 | 2 |
Таблица для второй функции;
| х | 0 | 0,5 |
| у | -1 | 0 |
Таблица для третьей функции;
Очевидно, что все построенные прямые параллельны, потому что их угловые коэффициенты одинаковы. Функции отличаются только значением m.
Рис. 1.
Сделаем вывод. Пусть заданы две произвольные линейные функции:
и
Если но то заданные прямые параллельны.
Если и то заданные прямые совпадают.
Изучение взаимного расположения графиков линейных функций и свойств их параметров является основой для изучения систем линейных уравнений. Мы должны запомнить, что если прямые параллельны, то система не будет иметь решений, а если прямые совпадают – то система будет иметь бесчисленное множество решений.
Алгебра. Урок 5. Графики функций
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно по теме “Графики функций”.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Декартова система координат
- Функция
Прямая Парабола Гипербола Квадратный корень
- Возрастающая/убывающая функция
- Наибольшее/наименьшее значение функции
- Примеры решений заданий из ОГЭ
Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.
Координатные оси – прямые, образующие систему координат.
Ось абсцисс (ось x ) – горизонтальная ось.
Ось ординат (ось y ) – вертикальная ось.
Функция – это отображение элементов множества X на множество Y . При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y .
Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b – любые числа.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b :
Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.
b – точка пересечения прямой с осью y .
Если a < 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.
b – точка пересечения прямой с осью y .
Если a = 0 , функция принимает вид y = b .
Отдельно выделим график уравнения x = a .
Важно: это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции ( функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y ). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y . Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».
Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола.
Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a , b , c :
- Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.
- Если a > 0 , ветки параболы направлены вверх.
- Если a < 0 , ветки параболы направлены вниз.
- Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y .
- Коэффициент b помогает найти x в – координату вершины параболы.
x в = − b 2 a
- Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью .
- Если D > 0 – две точки пересечения.
- Если D = 0 – одна точка пересечения.
- Если D < 0 – нет точек пересечения.
Графиком функции y = k x является гипербола.
Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.
Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.
Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы
Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.
На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.
Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.
Если k < 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.
Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .
Функция y = x имеет следующий график:
Функция y = f ( x ) возрастает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует большее значение функции (большее значение y ) .
То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)
Примеры возрастающих функций:
Функция y = f ( x ) убывает на интервале, если большему значению аргумента (большему значению x ) соответствует меньшее значение функции (большее значение y ) .
То есть чем больше (правее) икс, тем меньше (ниже) игрек. График опускается вниз (смотрим слева направо).
Примеры убывающих функций:
Для того, чтобы найти наибольшее значение функции, находим самую высокую точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наибольшим значением функции.
Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, находим самую нижнюю точку на графике и смотрим, какая у нее координата по оси ординат (по оси y ) . Это значение и будет являться наименьшим значением функции.
Рассмотрение случая пересекающихся прямых
Рассмотрим случай, когда угловые коэффициенты не равны. Рассмотрим пример:
Пример 3 – найти графически точку пересечения прямых:
Обе функции имеют график – прямую линию.
Угловой коэффициент первой функции , второй функции , , значит прямые не параллельны и не совпадают, значит имеют точку пересечения, при чем единственную.
Составим таблицы для построения графиков:
| х | 0 | 1,5 |
| у | -3 | 0 |
Таблица для первой функции;
| х | 0 | 4 |
| у | 2 | 0 |
Таблица для второй функции;
Рис. 6.
Очевидно, что прямые пересекаются в точке (2; 1)
Проверим результат, подставив полученные координаты в каждую функцию:
Рассмотрение примера на свойства параметров функции
Рассмотрим задачи.
Пример 2 – определить знаки параметров k и m по заданному графику функции:
Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k также плюс.
Рис. 2.
Прямая пересекает ось у в положительном ее луче, значит m имеет знак плюс, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k минус.
Рис. 3.
Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х острый, функция возрастает, значит знак k плюс.
Рис. 4.
Прямая пересекает ось у в отрицательном ее луче, значит m имеет знак минус, угол между прямой и положительным направлением оси х тупой, функция убывает, значит знак k также минус.
Рис. 5.
Решение примера, выявление свойств параметров линейной функции
Пример 2:
Построим графики двух линейных функций: (4), (5)
В функции 4
В функции 5
Для построения графиков составим таблицы, в которых запишем точки их пересечения с осями координат:
| х | 0 | -3 |
| у | m=3 | 0 |
Таблица для функции 4;
| х | 0 | 3 |
| у | m=3 | 0 |
Таблица для функции 5;
Итак, из построения мы видим, что когда (прямая ) угол между прямой и положительным направлением оси х острый, а когда (прямая ) угол между прямой и положительным направлением оси х тупой.
Корнем функции 4 является число -3, потому что именно при этом значении х функция обращается в ноль.
Корнем функции 5 является число 3, так как при данном значении х функция обращается в ноль.
Отметим, что решением следующей системы:
Является точка (0; 3).
