Олимпиада по математике 7 класс, задания, уравнения, задачи с ответами

Усвоить школьную программу по математике могут только те, кто проявляет достаточно упорства. На уроках 7 классе учащиеся знакомятся с такими разделами, как степень с натуральным показателем, одночлен и многочлен, линейная функция, системы линейных уравнений с двумя переменными.

Принимая участие в олимпиадах, ученики углубляют свои знания и совершенствуют навыки, приобретенные на уроках. Но, чтобы добиться высокого результата, нужно долго и усердно готовиться.

На нашем сайте вы найдете олимпиадные задания по математике с ответами и решениями. Предложенные задания помогут подготовиться к олимпиаде. Мы советуем вам использовать их в качестве тренажера как на уроках, так и в ходе внеклассной самостоятельной подготовки.

• Уравнения
• Задачи
• Математические загадки
• Ответы к уравнениям
• Ответы к задачам
• Ответы на загадки

Олимпиада по математике 7 класс

Скачайте задания, заполнив форму!

После того как укажете данные, кнопка скачивания станет активной

Уравнения

1. Оба корня уравнения x2 – ax + 2 являются натуральными числами. Чему равно a?

2. Решите в натуральных числах уравнение: zx + 1 = (z + 1)2

3. Решите уравнение: 12 – (4х – 18) = (36 + 5х) + (28 – 6х)

4. Найдите решение уравнения: 7x + 3 (x+0,55) = 5,65

5. Решите уравнение: 10у – 13,5 = 2у — 37,5.

6. Преобразуйте в многочлен: (4х – 5у)2

7. Представьте выражение в виде квадрата двучлена: 4у2 — 12у + 9

8. Решите уравнение: 8у – (3у + 19) = -3(2у — 1)

9. Решите уравнение: 5х2 – 4х = 0

10. Решите систему уравнений: { x+2*y = 12 { 2*x-3*y = -18

Задание 1

(7 баллов) Приведите пример двух обыкновенных дробей, разность которых в три раза больше их произведения. Приведите вычисления, обосновывающие это свойство.
Ответ. Например, 1/2 и 1/5

Решение

Подходят любые дроби вида 1/n и 1/(n+3), есть и другие решения.

Критерии проверки

• Любое полное верное решение — 7 баллов.
• Приведён верный ответ без обоснования — 3 балла.

Задачи

Задача №1 Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0. Известно, что A = B (B – C). Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?

Задача №2 Последовательность строится по следующему закону. На первом месте стоит число 7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1. Какое число стоит на 2000 месте?

Задача №3 В XIX-XX веках Россией правили 6 царей династии Романовых. Вот их имена и отчества по алфавиту: Александр Александрович, Александр Николаевич, Александр Павлович, Николай Александрович, Николай Павлович, Павел Петрович. Один раз после брата правил брат, во всех остальных случаях после отца — сын. Как известно, последнего русского царя, погибшего в Екатеринбурге в 1918 году, звали Николаем. Найдите порядок правления этих царей.

Задача №4 Сколько чисел от 1 до 90 делятся на 2, но не делятся на 4?

Задача №5 В трех мешках 114 кг сахара. В первом на 16 кг меньше, чем во втором, а в третьем на 2 кг меньше, чем во втором. Сколько килограммов сахара во втором мешке?

Задача №6 Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не повторяются.

Задача №7 Точка D — середина основания AC равнобедренного треугольника ABC. Точка E — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC. Отрезки AE и BD пересекаются в точке F. Установите, какой из отрезков BF или BE длиннее.

Задача №8 Пол в гостиной барона Мюнхгаузена вымощен одинаковыми квадратными каменными плитами. Барон утверждает, что его новый ковер (сделанный из одного куска ковролина) закрывает ровно 24 плиты и при этом каждый вертикальный и каждый горизонтальный ряд плит в гостиной содержит ровно 4 плиты, покрытых ковром. Не обманывает ли барон?

Задача №9 Саша выписал первые миллион натуральных чисел, не делящихся на 4. Рома подсчитал сумму 1000 подряд идущих чисел в Сашиной записи. Могло ли у него получиться в результате 20012002?

Задача №10 Автомобиль из A в B ехал со средней скоростью 50 км/ч., а обратно возвращался со скоростью 30 км/ч.. Какова его средняя скорость?

Олимпиадные задания по математике для 7 класса олимпиадные задания по математике (7 класс)

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год, 7 класс

ЗАДАНИЯ (1 вариант)

1.Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры в которых 9 и 7?

2.Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограмм пресной воды нужно добавить к 40 кг морской воды, чтобы содержание соли в смеси составило 2%?

3.Теплоход проходит путь между двумя пристанями по течению за 3 часа, а возвращается обратно за 4 часа. За какое время плот преодолеет это расстояние?

4.От прямоугольника 324х141см отрезают несколько квадратов со стороной в 141 см, пока не останется прямоугольник, у которого длина одной стороны меньше 141 см. От полученного прямоугольника отрезают квадраты, стороны которых равны по длине его меньшей стороне, до тех пор, пока это возможно, и т.д. Какова длина стороны последнего отрезанного квадрата?

5.Руководитель математического кружка нашёл ошибку в совместной работе трёх учеников: Дмитрия, Ильи и Алексея. На занятии кружка они стали оправдываться.

Илья.1) Не я ошибся. 2)Ошибку допустил Алексей. 3)Я написал другую часть работы.

Дмитрий. 1) Ошибку сделал Алёша. 2) Я знаю, как её исправить. 3)Ошибались и великие математики.

Алексей. 1)Не я ошибся. 2) Я давно подозревал, что здесь что-то не так. 3) Илья действительно писал другую часть работы.

Руководитель кружка знал, что два из трёх утверждений каждого верны, а одно — неверно. Кто из учеников допустил в работе ошибку?

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год, 7 класс

ЗАДАНИЯ (2 вариант)

1.Можно ли число 203 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 203?

2.Ученику прислали задание, состоящее из 20 задач. За каждую верно решённую задачу ему ставят 8 баллов, за каждую неверно решённую – минус 5 баллов, за задачу, за которую он не брался решать – 0 баллов. Ученик получил в сумме 13 баллов. Сколько задач он брался решать?

3.Фонтан на площади города связан с часами на башне: он работает, когда хотя бы одна из стрелок часов находится между цифрами 3 и 4 или между цифрами 8 и 9. Сколько времени в течение суток этот фонтан работает?

4. Свежая вишня содержала 99% воды. После усушки влажность составила 98%. На сколько процентов надо поднять цену подсушенной вишни, чтобы выручить намеченную прежде сумму?

5.О натуральном числе Х получено 5 сообщений:

1) Х — двузначное число, 2) Х делится на 5, 3) Х не больше 14, 4) Х является квадратом целого числа, 5) Х — нечётное число. Известно, что четыре из этих сообщений истинны, а одно ложно. Чему равно Х?

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год, 7 класс

РЕШЕНИЯ (1 вариант)

1.Ответ: 2790, 2970, 6795, 6975.

Четырёхзначное число, средние цифры которого 9 и 7, имеет вид: *97* или *79*. Так как число должно делиться на 45, значит оно должно делиться на 5 и 9( так как 45=5х9). Значит, эти четырёхзначные числа оканчиваются на 5 или 0 ( т.к. делятся на 5). Т.е. имеют вид: *970, *790, *795, *975. Но они делятся и на 9, значит, сумма цифр тоже делится на 9. 9+7=16, не хватает 2. 7+9+5=21, не хватает 6. Значит, эти числа 2970, 2790, 6795, 6975.

2.Ответ: 60 кг.

Пусть добавили Х кг пресной воды. Масса смеси (Х+40) кг. Первоначально в морской воде было 40х0,05=2 кг соли. В смеси стало (Х+40)0,02 кг соли и так как её количество осталось неизменным, то

(Х+40)0,02=2.

0,02Х=1,2

Х=60.

3. Ответ: 24 часа.

Пусть х км/ч — собственная скорость теплохода, а у км/ч скорость течения. За 3 часа по течению теплоход пройдёт 3(х+у) км, а за 4 часа против течения

4(х-у) км. Так как теплоход проходит одинаковое расстояние, то

3(х+у)=4(х-у)

7у=х.

Найдём расстояние между пристанями 3(7у+у)=24у. Так как у км/час – это скорость течения, а, значит и скорость плота, то ему потребуется 24 часа, чтобы преодолеть расстояние 24у км.

4.Ответ: 3 см.

Сначала отрежем 2 квадрата со стороной 141 см, т.к. 324=141х2+42. Остаётся прямоугольник с размерами 141см и 42 см. Теперь отрезаем квадраты со стороной 42 см, можем отрезать 3 таких квадрата, т.к. 141=42х3+15. Остаётся прямоугольник со сторонами 42 см и 15 см. Отрезаем квадраты со стороной 15 см, их отрезаем 2, т.к. 42=15х2+12. Остаётся прямоугольник со сторонами 15 см и 12 см. Далее отрезаем квадраты со стороной 12 см, можем отрезать 1, т.к.15=12х1+3. Остаётся прямоугольник со сторонами 12см и 3см. Осталось отрезать квадраты со стороной 3 см, их можем отрезать 4, т.к. 12=3х4.

5. Ответ: Дмитрий.

Предположим, что ошибся Илья. Тогда неверны сразу два первых его высказывания, а это противоречит условию задачи. Значит, ошибиться Илья не мог.

Предположим, что ошибся Дмитрий. Тогда первое его утверждение неверно, а два других верно. Т.е. противоречий с условием нет, значит, Дмитрий мог ошибиться.

Составим таблицу. Знаком «_»отметим заведомо неверные высказывания, а знаком «+» те, которые могут быть верными.

Предположим, что ошибся Алексей. Тогда неверно третье высказывание Ильи, т.к. два первых его высказывания верны, поэтому неверно третье высказывание Алексея (оно точно такое же). Тогда верно первое высказывание Алексея (только одно из его высказываний-третье-неверное), а это противоречит предположению. Т.е. Алексей ошибиться не мог.

Значит, ошибся Дмитрий.

Школьный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике

2019-2020 учебный год, 7 класс

РЕШЕНИЯ (2 вариант)

1. Ответ: можно.

Число 203 можно разложить на два простых множителя 7 и 29. Тогда представим его в виде суммы этих слагаемых и добавим 167 слагаемых, равных 1, т.е. 203=7+29+1+1+1+…+1. Тогда

203=7х29х1х1х1х1х….х1, где множителей, равных 1, тоже 167.

1. Ответ: Ученик брался решать 13 задач.

Пусть х – количество верно решённых задач, а у – неправильно решённых задач. Баллы, которые набрал ученик 8х-5у=13. Преобразуем уравнение так, чтобы выделить в нём сумму х+у (количество задач, к которым приступал ученик). 8(х+у)=13(1+у). Т.к. 8 не делится на 13, то сумма (х+у) делится на 13 и по условию х+у не больше 20. Поэтому х+у=13. Тогда х=6, а у=7, т.к. 1+у =8.

1. Ответ: 7 часов 20 минут

Рассмотрим часовую стрелку. В течение суток часовая стрелка попадает между цифрами 3 и 4, 8 и 9 четыре раза по 1 часу. Значит, фонтан будет работать в течение 4 часов.

Рассмотрим минутную стрелку. В течение 1 часа минутная стрелка попадает между цифрами 3 и 4, 8 и 9 два раза по 5 минут. Т.к. в сутках 24 часа, исключаем 4 часа, т.к. фонтан уже работает ( там уже будет часовая стрелка и фонтан будет работать), то 20 х10 мин=200 мин=3 часа 20 мин.

Значит, фонтан будет работать 4 часа+3 часа 20мин=7 часов 20 мин.

1. Ответ: на 100%

Пусть было х кг вишни. Твёрдая масса вишни ( без воды) составляет 0,01х кг. Это количество после усушки составляет 2% массы вишни. Значит, вся вишня после усушки весит 0,01х:0,02=0,5х кг. Т.е. вишня потеряла после усушки половину своей массы. Чтобы выручить намеченную сумму, надо поднять цену в два раза, т.е. увеличит на 100%.

1. Ответ: 25

Допустим, что первое утверждение ложно, тогда оставшиеся четыре верные. Но получаем противоречие, т.к. число, не большее 14, не может быть точным квадратом и делиться на 5. Значит, первое утверждение верно.

Допустим, что второе утверждение ложное. Опять получаем противоречие, т.к. двузначное число, не больше 14, не может быть точным квадратом. Значит, второе утверждение тоже верно.

Допустим, что третье утверждение ложное. Тогда двузначное число, которое делится на 5 и является квадратом целого числа это 25 и оно нечётное. Такое двузначное число единственное. Значит, третье утверждение может быть ложным.

Допустим, что четвёртое утверждение ложно. Тогда А — двузначное число, не больше 14, которое делится на 5. Это число 10. Это противоречит пятому утверждению. Значит, четвёртое утверждение тоже верно.

Допустим, что пятое утверждение ложно, а все остальные верные. Получаем противоречие, т.к. двузначное число, не больше 14, не может быть квадратом целого числа. Значит, пятое утверждение не может быть ложным.

Остаётся единственное решение: третье утверждение ложное, остальные истинны. Это число 25.

Критерии оценивания олимпиадных заданий

Задания математических олимпиад являются творческими, допускают несколько различных вариантов решений.

В соответствии с регламентом проведения математических олимпиад каждая задача оценивается из 7 баллов.

Соответствие правильности решения и выставляемых баллов приведено в таблице.

Помимо этого:

а) любое правильное решение оценивается в 7 баллов. Недопустимо снятие баллов за то, что решение слишком длинное, или за то, что решение школьника отличается от приведенного в методических разработках или от других решений, известных жюри; при проверке работы важно вникнуть в логику рассуждений участника, оценивается степень ее правильности и полноты;

б) олимпиадная работа не является контрольной работой участника, поэтому любые исправления в работе, в том числе зачеркивание ранее написанного текста, не являются основанием для снятия баллов; недопустимо снятие баллов в работе за неаккуратность записи решений при ее выполнении;

в) баллы не выставляются «за старание Участника», в том числе за запись в работе большого по объему текста, но не содержащего продвижений в решении задачи;

г) победителями олимпиады в одной параллели могут стать несколько участников, набравшие наибольшее количество баллов, поэтому не следует в обязательном порядке «разводить по местам» лучших участников олимпиады.

Задание 4

(7 баллов) Один из трёх друзей: Андрей, Борис или Владимир — самый сильный, другой — самый умный, третий — самый добрый. Однажды они сказали следующее:

Андрей: Владимир сильнее меня.

Борис: Я умнее Владимира.

Владимир: Борис умнее меня.

Известно, что самый сильный и самый добрый сказали правду, самый умный соврал и среди них нет двух людей, равных по силе.

Верно ли, что среди трёх друзей тот, кто самый добрый, тот и самый слабый?

Обоснуйте свой ответ.

Ответ. Да.

Решение

Обозначим: А — Андрей, Б — Борис, В — Владимир. Утверждения Б и В повторяют друг друга, а так как имеется только одно неверное утверждение среди трёх, Б и В сказали правду, А — ложь. Следовательно, А самый умный (по условию), А сильнее В (так как А соврал) и Б умнее В (так как Б и В сказали правду). Раз А сильнее В, то В не самый сильный. Получается, что самый сильный Б, средний по силе А, самый слабый — В. При этом В не самый умный и не самый сильный, значит, он самый добрый.

Для наглядности можно занести имеющуюся информацию в таблицу. Будем обозначать «места» каждого качества: 1 — первое место (самый умный / сильный / добрый), 2 — среднее, 3 — последнее место.

Из таблицы видно, что В — самый добрый и самый слабый.

Критерии проверки

• Любое полное верное решение — 7 баллов.
• Верно и обоснованно найдено, кто самый сильный, кто самый умный и кто самый добрый, а дальше продвижений нет — 5 баллов.
• Обоснованно получено, Андрей самый умный, верно распределены друзья по силе (все 3 места), но не получено или не соотнесено с тем, что Владимир самый добрый, — 5 баллов.
• Приведены рассуждения только для частного случая (например, рассмотрен только случай, что Андрей сказал неправду) без рассмотрения остальных частных случаев и без указания на их невозможность — 2 балла.
• Верный ответ с указанием, кто самый умный, кто самый сильный и кто самый добрый, с проведённой проверкой, что при такой расстановке все условия задачи выполнены, но без обоснований — 2 балла.
• В самом начале рассуждений допущена ошибка — 0 баллов.
• Приведён только ответ — 0 баллов.

Варианты математических олимпиад

Здесь содержатся варианты олимпиад по математике, используемые в повседневной работе. Ведь наилучший способ подготовиться к олимпиаде — это постоянно решать варианты последних лет.

Двузначное число в каждой ссылке означает год проведения финала олимпиады.

Всероссийская олимпиада школьников по математике

Примечания.

• Муниципальный этап для 5 и 6 классов начиная с 2015/16 года не проводится.
• Региональный и заключительный этапы для 5–8 классов не предусмотрены. Вместо них проводится олимпиада им. Леонарда Эйлера (для восьмиклассников).

Олимпиада им. Леонарда Эйлера

Олимпиада им. Леонарда Эйлера («Всеросс в младшей лиге») проводится с 2008/09 года.

Московская математическая олимпиада

Турнир городов

Олимпиада «Покори Воробьёвы горы!»

Олимпиада «Ломоносов»

Олимпиада «Физтех»

Примечания.

• Очный финал для 5–8 классов пока не проводится.
• В 2016/17 и 2017/18 годах на онлайн-этапе для 5 и 6 классов давалось задание 7 класса.
• Очный финал для 10 класса впервые прошёл в 2020 году, а для 9 класса — в 2020 году.

Олимпиада «Высшая проба»

Олимпиада «Курчатов»

ОММО — Объединённая межвузовская математическая олимпиада

Письменный экзамен мехмата МГУ и ДВИ МГУ

Математический праздник

Турнир Архимеда

Московская городская устная математическая олимпиада для 6–7 классов

Всесоюзная олимпиада школьников по математике

Международная олимпиада «Туймаада» по математике