План – конспект урока в 8А классе по теме «Квадратичная функция» — презентация

Квадратичная функция, ее свойства и график

Прохажаева Елена Геннадьевна

МКОУ Качугская СОШ №1

Алгебра 8 класс учебник авторов

Ш.А. Алимов и др.

тема «Квадратичная функция, ее свойства и график»

продолжительность урока 40 мин.

Тип урока
– Урок обобщения и систематизации изученного материала
Формы работы учащихся

– коллективная, в парах, самостоятельна работа

Цели урока:

Обобщить и систематизировать умения и навыки по теме “Квадратичная функция”. Развивать УУД.

Регулятивные —

целепологание, планирование, контроль и оценивание своих действий.

Познавательные

— систематизировать информацию в соответствии с заданными показателями, выделять главную мысль, устанавливать связи между объектами, рефлексия.

Коммуникативные

— умение взаимодействовать со сверстниками работая в группе, вступать в диалог, продуктивно сотрудничать

Личностные

— формирование целеустремленности и настойчивости в достижении своих целей

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Начать урок я хочу со слов французского ученого Р. Декарта «Математика учит преодолевать трудности и исправлять собственные ошибки»

И я бы пожелала, чтобы все свои трудности на уроке вы преодолели и удачно написали с/р.

2. Актуализация

1) Итак, на какую тему по- вашему будет с/р?

Планируемый ответ: на тему «Квадратичная функция»

2) Чтобы написать ее успешно, что нужно сделать?

Планируемый ответ: Повторить теорию и практику на данную тему

3) Какие цели перед собой поставим?

Планируемый ответ: Повторить определение квадратичной функции, виды функций в зависимости от коэффициентов, свойства функции, ее график, решить задания.

Класс делится на группы, каждому выдается маршрутный лист, назначаются руководители групп. Работая в группах, учащиеся обобщают и систематизируют тему «Квадратичная функции»

3. Работа в группах( учащиеся делятся на 3 группы отдельно назначаются руководители )

1. Отгадать о какой функции идет речь. Используется прием педагогической техники «Да- нет», который формирует умение разрозненные факты связывать в единую картину,умение систематизировать уже имеющуюся информацию. Руководитель группы (учащийся) загадывает квадратичную функцию. Учащиеся пытаются найти ответ, задавая вопросы, на которые руководитель группы может ответить только словами «да», «нет», «и да и нет». В результате работы руководитель ставит в маршрутном листе отметку каждому учащемуся.

2. Повторить свойства функции вид ее графика. Используется прием «Облака мыслей», который формирует умение систематизировать информацию в соответствии с заданными показателями. Учащиеся сообщают все, что знают по заданной функции, по ходу повторения теории коллективно группой составляется план-конспект. Прием «Своя опора», который формирует умение выделять главные мысли, умение устанавливать связи между объектами, представлять информацию в «свернутом виде»

3.Решение типичных заданий на данную тему. Учащиеся решают, проверяют друг у друга задания (построить график функции, записать свойства функции, найти вершину параболы, точки пересечения с осями), разъясняют друг другу непонятные места. Используется прием «Учимся сообща», который формирует умение работать в паре, группе.

4. Выполнение учащимися индивидуально письменного задания по вариантам.

№1 (прием «Диктант значений)

Напиши общий вид функции, у которой коэффициенты

№2
Найти координаты точек пересечения параболы с осями координат

№3 Установи соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Материал взят из тренировочных вариантов экзаменационных работ для проведения ГИА-2014 в новой форме. Издательство АСТ Астрель Москва

5. Подведение итогов (самопроверка с/р ( по решению с обратной стороны доски) Самооценка по критериям вывешенным на доске, выставление оценки в маршрутный лист, выведение общей за работу в группах и за с/р, определение типичных ошибок и пробелов в знаниях и умениях, а также путей их устранения и совершенствования).

5. Постановка задания на дом. Рефлексия.

Чётность и симметрия квадратичной функции

Симметрия относительно оси ординат

График функции f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} ( b = 0 {\displaystyle b=0} и c = 0 {\displaystyle c=0} ) симметричен относительно оси ординат
Квадратичная функция f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} является целой рациональной функцией второй степени, поэтому для неё справедливы все соответствующие свойства целой рациональной функции. В частности, она является чётной только тогда, когда в записи её многочлена присутствуют лишь чётные показатели степени, и нечётной — если она содержит только нечётные показатели. Из этого следует, что никакая квадратичная функция не может быть нечётной ввиду того, что на неё изначально накладывается условие a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} , а следовательно она всегда будет содержать чётный показатель 2.

Кроме того, очевидно, что квадратичная функция является чётной только при отсутствии показателя 1, что означает b = 0 {\displaystyle b=0} . Этот факт легко доказывается и непосредственно. Так, очевидно, что функция f ( x ) = a x 2 + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+c} является чётной, так как справедливо:

f ( − x ) = a ⋅ ( − x ) 2 + c = a x 2 + c = f ( x ) {\displaystyle f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+c=ax^{2}+c=f(x)} , то есть f ( − x ) = f ( x ) {\displaystyle f(-x)=f(x)} .

Таким образом, квадратичная функция является симметричной относительно оси ординат только тогда, когда b = 0 {\displaystyle b=0} . Конкретные значения коэффициентов a {\displaystyle a} и c {\displaystyle c} на этот факт абсолютно не влияют. В частности, c {\displaystyle c} может быть также равно нулю, то есть отсутствовать в записи формулы. В этом случае вершина параболы будет совпадать с началом системы координат.

Во всех других случаях квадратичная функция не будет ни чётной, ни нечётной, то есть является функцией общего вида. Это также легко можно показать с помощью определения чётности функции:

f ( − x ) = a ⋅ ( − x ) 2 + b ⋅ ( − x ) + c = a x 2 − b x + c ≠ f ( x ) {\displaystyle f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+b\cdot (-x)+c=ax^{2}-bx+c\neq f(x)} , то есть f ( − x ) ≠ f ( x ) {\displaystyle f(-x)\neq f(x)} . f ( − x ) = a ⋅ ( − x ) 2 + b ⋅ ( − x ) + c = a x 2 − b x + c = − ( − a x 2 + b x − c ) ≠ − f ( x ) {\displaystyle f(-x)=a\cdot (-x)^{2}+b\cdot (-x)+c=ax^{2}-bx+c=-(-ax^{2}+bx-c)\neq -f(x)} , то есть f ( − x ) ≠ − f ( x ) {\displaystyle f(-x)\neq -f(x)} .

Осевая симметрия в общем случае

Осью симметрии любой параболы является прямая, проходящая через её вершину параллельно оси ординат
В то же время график любой квадратичной функции обладает осевой симметрией. Как известно, если для некоторой функции f ( x ) {\displaystyle f(x)} для некоторого числа x 0 ∈ R {\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} } справедливо равенство f ( x 0 + x ) = f ( x 0 − x ) {\displaystyle f(x_{0}+x)=f(x_{0}-x)} , то график этой функции f ( x ) {\displaystyle f(x)} обладает осевой симметрией по отношению к прямой x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}} . В отношении квадратичной функции таким числом x 0 {\displaystyle x_{0}} является абсцисса вершины её параболы. Таким образом, график любой квадратичной функции симметричен по отношению к оси, параллельной оси ординат и проходящей через вершину параболы, а осью симметрии функции f ( x ) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} является прямая x = − b / 2 a {\displaystyle x=-b/2a} .

Доказательство этого факта также не является сложным:

f ( x 0 + x ) = f ( x + x 0 ) = f ( x − b 2 a ) = a ( x − b 2 a ) 2 + b ( x − b 2 a ) + c {\displaystyle f(x_{0}+x)=f(x+x_{0})=f\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)=a\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)+c} = a ( x 2 − 2 ⋅ x ⋅ b 2 a + b 2 4 a 2 ) + b ( x − b 2 a ) + c {\displaystyle =a\left(x^{2}-2\cdot x\cdot {\frac {b}{2a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)+b\left(x-{\frac {b}{2a}}\right)+c} = a x 2 − b x + b 2 4 a + b x − b 2 2 a + c = a x 2 − b 2 4 a + c = a x 2 + 4 a c − b 2 4 a {\displaystyle =ax^{2}-bx+{\frac {b^{2}}{4a}}+bx-{\frac {b^{2}}{2a}}+c=ax^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c=ax^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}

К аналогичному результату приводит и преобразование:

f ( x 0 − x ) = f ( − x + x 0 ) = f ( − x − b 2 a ) = ⋯ = a x 2 + 4 a c − b 2 4 a {\displaystyle f(x_{0}-x)=f(-x+x_{0})=f\left(-x-{\frac {b}{2a}}\right)=\dotsb =ax^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}}

Таким образом, f ( − b 2 a + x ) = f ( − b 2 a − x ) {\displaystyle f\left({\frac {-b}{2a}}+x\right)=f\left({\frac {-b}{2a}}-x\right)} , поэтому график функции симметричен относительно прямой x = − b 2 a {\displaystyle x={\frac {-b}{2a}}} .

Вычисление вершины параболы с помощью нулей функции

Нули функции расположены симметрично к оси, проходящей через вершину параболы параллельно оси ординат
Так как ось симметрии параболы всегда проходит через её вершину, то, очевидно, что нули квадратичной функции также всегда симметричны относительно абсциссы вершины параболы. Этот факт позволяет легко вычислить координаты вершины параболы с помощью известных нулей функции. В поле действительных чисел этот способ действует только тогда, когда парабола пересекает ось абсцисс или касается её, то есть имеет нули из действительной области.

В случае, когда квадратичная функция имеет лишь один нуль (кратности 2), то он, очевидно, сам и является вершиной параболы. Если же парабола имеет нули x 1 {\displaystyle x_{1}} и x 2 {\displaystyle x_{2}} , то абсцисса x 0 {\displaystyle x_{0}} её вершины легко вычисляется как среднее арифметическое нулей функции. Ордината вершины вычисляется путём подстановки её абсциссы в исходное уравнение функции:

x 0 = x 1 + x 2 2 {\displaystyle x_{0}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}} y 0 = f ( x 0 ) {\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}

Особенно удобным этот способ будет в случае, когда квадратичная функция заданна в её факторизированном виде. Так, например, парабола функции f ( x ) = 2 ( x − 1 ) ( x + 3 ) {\displaystyle f(x)=2(x-1)(x+3)} будет иметь вершину со следующими координатами:

x 0 = 1 + ( − 3 ) 2 = − 1 {\displaystyle x_{0}={\frac {1+(-3)}{2}}=-1} y 0 = f ( − 1 ) = 2 ( − 1 − 1 ) ( − 1 + 3 ) = − 8 {\displaystyle y_{0}=f(-1)=2(-1-1)(-1+3)=-8}

При этом даже не требуется преобразовывать уравнение функции к общему виду.

Разработка урока по алгебре на тему «Квадратичная функция и ее график»

Тема: Квадратичная функция и ее график. Обобщающий урок.

Тип:

Урок – взаимообучения учащихся.

Цели урока:

• Систематизировать знания учащихся по теме.
• Активизировать деятельность учащихся в процессе обучения.
• Воспитание честности, развитие коллективизма.

Оборудованиe:

1) доска; 2) таблица; 3) билеты – 4; 4) карточки (номера) – 4; 5) карточки с вопросами зачета – 4; 6) ведомости оценок – 4.

Место проведения:

Кабинет математики.

Время: 45 минут.

План урока

1) Вступление.

2) Основная часть.

• Повторение темы.
• Подготовка к зачету по экипажам.
• Зачет.
• Работа по карточкам.

3) Заключительная часть.

Ход урока.

1. Класс садится по экипажам. Разбиваю класс на 4 экипажа по 4-5 человек. Экипажи выбирают своего командира и штурмана. Знакомлю учащихся с целью, планом урока.

2. Основная часть.

А) Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида:

У=а

х2+
в
х+
с
,

где х – независимая переменная, а, в

и
с
– некоторые числа , причем а 0.

Графиком квадратичной функции является парабола.

График функции У=а

х2+
n
является парабола, которую можно получить из графика функции у= с помощью параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если n0, или на –n единиц вниз, если n

График функции у=а(х–m)2 является параболой, которую можно получить из графика функции У=а

х2 с помощью параллельного переноса вдоль оси х на m единиц вправо, если m0, или на m единиц влево, если m

График функции У=а

х2+
в
х+
с
есть парабола. Вершиной которой является точка (m, n), где

m= — в , n= — в2+4ас

2а 4а

Осью симметрии параболы служит прямая х=m, параллельная оси у. При а0 ветви параболы направлены вверх, при а

n=а

m2+
в
m+
с
Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1) найти координаты вершины параболы и отметить ее на координатной плоскости; 2) построить еще несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.

Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида а

х2+
в
х+
с
=0, где х — переменная,
а, в
и
с
– некоторые числа , причем а 0.

Формула корней квадратного уравнения:

Д=в2-4ас

Если Д0 , то квадратное уравнение имеет 2 корня

Д=0 , то квадратное уравнение имеет 1 корень

Д

Теорема Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена а

х2+
в
х+
с
, то

а

х2+
в
х+
с
=а(х-х1)(х-х2)

Б) Подготовка к зачету по экипажам.

Задание экипажам: понять определение квадратичной функции, квадратного уравнения, формулы вершин параболы, алгоритмы построения графика квадратичной функции и быть готовыми к ответу на следующие вопросы.

1) Приведите определение квадратичной функции.

2) Что является графиком квадратичной функции?

3) Какая точка является вершиной параболы?

4) Запишите формулы вершины параболы.

5) Какая прямая является осью симметрии параболы?

6) Ветви параболы направлены вверх, если. . . , ветви параболы направлены вниз, если. . .

7) Дайте определение квадратного уравнения.

Запишите формулы корней квадратного уравнения.

9) Когда квадратное уравнение имеет а) 2 корня? б) один корень? в) не имеет корней?

10) Запишите формулу разложения квадратного трехчлена на множители.

В) Зачет.

Раздаю командирам экипажей зачетные ведомости. Командир и штурман принимают зачет у членов экипажа и друг у друга. Потом, когда экипаж готов, командир тянет билет.

Билеты:

1) “Все” – члены экипажа сдают учителю все.

2) “Выбор” – учитель сам выбирает из экипажа, кому ответить.

3) “Доверие” – никто не отвечает. Оценки командира ставятся в журнал.

4) “Депутат” – кому ответить, экипаж выбирает сам.

По такой системе все экипажи сдают зачет.

Г) Работа по карточкам.

Раздаю экипажам карточки №106, 108

3. Заключительная часть.

Всем говорю оценки и ставлю в журнал.