- Доклады
- Математика
- Осевая и центральная симметрия
Симметрия является неотъемлемой частью мира, в котором мы живем. Мы восхищаемся красотой природы, архитектурными сооружениями, механическими приборами и шедеврами искусства, не задумываясь над тем, что в основе их создания лежит симметрия.
«Симметрия» с греческого языка переводится как гармония, соразмерность, красота. Впервые термин стал широко употреблять Пифагор в до н.э. Им он обозначил трехмерное изображение геометрических фигур и их частей в пространстве. Также ученый определил отклонение от симметрии как асимметрию.
Существует два основных виды симметрии: осевая и центральная.
Осевая симметрия или зеркальная – это симметрия относительно оси. То есть одна половинка фигуры полностью соразмерна с другой относительно прямой. Так если согнуть листок пополам, то каждая точка одной половины листа будет иметь своего двойника на другой половине, а сам сгиб станет осью симметрии.
Зеркальную симметрию можно наблюдать в природе: листья растений симметричны относительно среднего стебля, крылья бабочки являются зеркальным отображением друг друга, человек и животные обладают симметрией в расположении частей тела. Архитектурные сооружения также являются ярким примером осевой симметрии. Фасады зданий, особенно античных, вызывают чувства строгости и восхищения красотой именно благодаря симметрии их частей. Симметрия в архитектуре служит не только для эстетического удовольствия наблюдателей, но и гарантирует зданиям и сооружениям прочность и надежность конструкции.
Центральная симметрия – это симметрия относительно точки. У такой симметрии обязательно есть неподвижный центр, при вращательных действиях на 180° относительно него фигура переходит сама в себя. Благодаря этому свойству центральная симметрия получила второе название – поворотная. С древнейших времен ее эталоном считается круг, и действительно, как бы мы не поворачивали его вокруг центра, каждая точка окружности переходит в соответствующую ей. В природе ярким примером центральной симметрии являются снежинки; цветы таких растений, как одуванчик, мать-и-мачеха, а также ромашки, если количество ее лепестков четное; шестеренки механизмов.
Вариант 2
Наверное, каждый слышал такие понятия, как «симметрия», «симметрично» и тому подобное. Но есть такие люди, которые не понимают значение данных синонимов. Так что же такое симметрия? Где ее применяют? И какие разновидности существуют?
Краткий экскурс о симметрии в общих чертах.
Постараюсь объяснить понятие симметрии на некотором примере. Представьте обыкновенную бабочку. Так, а теперь надо провести через нее линию. Когда линия окончательно проведена, необходимо посмотреть на правую и левую части рисунка. Если эти 2 части рисунка одинаковы по размерам и пропорциям, то это можно называть симметричной моделью. Короче говоря, симметрия – это полная соразмерность частей тела по отношению к линии. Где же применяется симметрия? Ну, симметрия встречается везде, где только можно. Геометрия, физика, биология, химия, культура – все это содержит симметрию, причем каждая отличается друг от друга. Еще существует понятие асимметрии. То есть, отсутствие правильной соразмерности. Еще стоит отметить, что симметрия не всегда бывает точной.
Некоторые виды симметрии, их характеристика и применение.
Всего наберется с десяток разных видов симметрий. Но рассмотреть необходимо только те, которые часто встречаются. Сразу стоит сказать, что обе из них находят применение в решении задач по геометрии. Итак, вот 2 главных вида симметрии:
Осевая симметрия.
Этот вид симметрии делится на 4 группы, отличающиеся друг от друга.
1) Отражательная симметрия – это зеркальное движение, в котором точки, не перемещающиеся никуда, соединены в одну линию – ось симметрии. Прямоугольник и параллелограмм – отличные примеры.
2) Вращательная симметрия – это осевая симметрия, которая относительна поворотам вокруг оси.
3) Осевая симметрия n – го порядка – это симметрия относительно поворотов на 360 градусов вокруг оси.
4) Зеркально поворотная осевая симметрия n – го порядка – то же самое, только перпендикулярно оси.
Центральная симметрия.
Это преобразование, при котором каждая точка А переходит в точку А1, при этом она симметрична предыдущей относительно оси О. Данная симметрия – это, по сути, тот же поворот на 180 градусов в планиметрии. Центральную симметрию от осевой отличает то, что в первом случае присутствует движение.
Осевая и центральная симметрии. Проводим урок с ЭФУ
- Зайдите на бесплатный сервис «Классная работа» от LECTA. В помощь учителю на сервисе «Классная работа» представлены поурочные планы по математике — календарно-тематическое планирование и методические рекомендации к каждому этапу урока. Поурочные разработки по математике содержат интерактивные материалы для изучения каждой темы и интерактивные задания для каждого урока, математические диктанты и проверочные работы для организации проверки знаний.
- Откройте ЭФУ «Математика. 6 класс» (УМК А.Г. Мерзляка). Нужная нам тема рассматривается в параграфе 44.
- Откройте в сервисе «Классная работа» поурочные разработки к этому учебнику. Тема «Осевая и центральная симметрии» рассматривается на трех занятиях — 127-129. Планы данных уроков вы можете скачать в этой статье, ко всем остальным занятием — по ссылке выше.
Поурочные разработки к УМК «Математика. 6 класс» А.Г. Мерзляка разработаны в соответствии с основными положениями ФГОС ООО и легли в основу системы уроков, в каждом из которых собрано все необходимое для проведения занятия в шестом классе.
Повторение материала
Из курса математики 5 класса учащиеся уже узнали, как выглядят и строятся фигуры, имеющие ось симметрии. Перед изучением темы «Осевая и центральная симметрии» будет целесообразно повторить материал 5 класса. Следует разъяснить учащимся, что построение фигуры во многих случаях возможно по положению ключевых точек.Учитель: Отрезок можно определить положением концов, треугольник — расположением вершин. Какие еще примеры вы можете назвать?Ученики: Квадрат по 4 точкам, например… И ромб!Учитель: Верно. Чтобы построить фигуру, которая будет симметрична нашему треугольнику или ромбу, нам необходимо отразить ее ключевые точки.
Для закрепления этого интуитивно-наглядного понимания, учитель может предложить детям перегнуть лист бумаги, на котором изображены симметричные фигуры.
.
Понятие симметрии
Слово «симметрия» происходит от греческого symmetria, что означает соразмерность. В нашем случае, симметрия — это свойство геометрических фигур к отображению.
Учитель: Симметрия используется в рисунках, орнаментах, архитектуре с давних времен. Где еще симметрию могут использовать люди?
Ученики: при строительстве домов; в изготовлении предметов быта.Учитель: верно, но ведь симметрия распространена не только там, где творил человек! Мы видим симметричные объекты природы каждый день. Назовите мне три таких объекта!Ученики: Бабочка, цветы, форма листа! Морская звезда, снежинка, яблоко в разрезе.
Симметрий, как это не покажется вам странным и любопытным, много, но мы будем рассматривать две симметрии на плоскости: относительно точки и прямой.
Осевая симметрия
Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).
Заметим, что любые две фигуры, симметричные относительно некоторой прямой, равны (Рис.131). Все точки фигуры, имеющей ось симметрии, не принадлежащие этой оси, можно разделить на пары симметричных точек (Рис. 132).
Центральная симметрия
Симметрию относительно точки называют центральной симметрией.
Фигуры, имеющие центр симметрии — понятие, воспринимающееся учащимися сложнее, чем фигуры, имеющие ось симметрии. Для удобства восприятия и понимания, рекомендуется привести как можно больше примеров из окружающей природы.
В зависимости от уровня математической подготовки учащихся класса, можно обратить их внимание на то, что прямая — это фигура, имеющая бесконечно много осей и центров симметрии.
С помощью заданий из «Классной работы» материал можно закрепить в различных графических форматах.
Актуализация знаний
Для каждого параграфа в учебнике подобраны задачи для самостоятельного решения. Задания распределены по трем уровням сложности — от простых к трудным. Для дополнительной мотивации учащихся и практического применения полученных знаний предлагается решить специальную задачу «От мудрой совы» — здесь школьникам понадобится проявить смекалку и изобретательность. Еще одна рубрика, которая неизменно заинтересует как юных первооткрывателей, так и учителей, — рубрика «Когда сделаны уроки», в которой можно узнать о важных математических объектах и истории их появления.
Предложите ребятам решить задание № 1260.
Какие печатные буквы русского алфавита имеют 1) вертикальную ось симметрии; 2) горизонтальную ось симметрии; 3) горизонтальную и вертикальную оси?
Готовый яркий раздаточный материал «Алфавит» вы можете скачать в конце этой статьи.
Также рекомендуем вам применять на уроке различные методы преподнесения информации: как визуальный, так и аудио. Попробуйте аудиодиктант.
Урок «Осевая и центральная симметрия» план-конспект урока (геометрия, 8 класс) на тему
Урок «Осевая и центральная симметрия»
Цели урока:
Образовательная:
сформулировать понятие осевой и центральной симметрии,
рассмотреть представление о симметрии в математике, физике, химии, биологии.
Развивающая:
активизировать самостоятельную и исследовательскую деятельность учащихся,
развивать познавательную активность,
учить обобщать и систематизировать полученную информацию.
Воспитательная:
Воспитывать культуру мышления, коммуникативные качества.
I этап. Погружение в тему.
Мы отправляемся в путешествие (предоставляются слайды с изображениями различных архитектурных сооружений, узоры на зданиях, примеры живой природы, обладающие симметрией)
На столах находится раздаточный материал .
Задание: распределить его в группы по определенным признакам, а в конце урока мы распределим данные карточки с точки зрения геометрии.
Как вы думаете , какое понятие мы будем сегодня изучать?
Ответ: симметрию.
Сегодня на уроке мы изучим , что такое симметрия и рассмотрим его проявление в других дисциплинах: алгебре, физике, химии, биологии.
Симметрия – понятие, означающее сохраняемость, повторяемость, «инвариантность» каких – либо особенностей структуры изучаемого объекта при проведении с ним определенных преобразований.
Это явление более подробно изучил немецкий математик Герман Вейель, написав книгу «Симметрия». О симметрии он сказал так: «Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался построить и сделать порядок, красоту, совершенство» (Слайд)
Приводится отрывок из произведения Л.Н. Толстого «Отрочество»
« Раз, стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был пронзен мыслью: Почему симметрия приятна для глаз?
Что такое симметрия?- Это врожденное чувство,- отвечал я себе. На чем оно основано? Разве во всем в жизни есть симметрия?»
Симметрию нам подарила природа, а человек изучает это явление.
Рассмотрим это явление с точки зрения геометрии.
II этап. Изучение нового материала.
Учащиеся на группы.
Выполнив лабораторные работы№1А.№1Б,№2А,№2Б вам необходимо сформулировать определения ,какие две точки называются симметричными относительно прямой и относительно центра, ответить на дополнительный вопрос, просмотреть слайд, проверив правы ли вы.
Лабораторная работа №1А.
1.возьмите лист белой бумаги, перегните его пополам
2. Капните на него каплю краски( пусть это будет клякса А), сложите лист вдвое, а затем разогните
3. На другой стороне листа вы получите такую же кляксу ( пусть это будет клякса А1)
4.Соедините А и А1 отрезком
5. Измерьте расстояние от А и от а1 до линии сгиба
6. Сравните эти расстояния.
Определение: Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через__________ отрезка АА1 и _______ к нему.
Лабораторная работа № 1Б.
- Возьмите лист белой бумаги , согните его пополам.
- Проткните двойной лист иголкой, а затем разогните.
- Вы получили две точки. Обозначьте одну буквой А. а другую – А1.
- Соедините А и А1 отрезком.
- Измерьте расстояние от А и от А1 до линии сгиба.
- Сравните эти расстояния.
Определение: Две точки А иА1 называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через _________
Отрезка АА1 и __________к нему.
Представители групп докладывают о том , что получилось, делают выводы.
Лабораторная работа № 2А.
Постройте отрезок АА1 и найдите его середину точку О.
Сформулируйте определение точек , симметричных относительно центра после просмотра слайда.
Определение: Точки А и А1 называются симметричными относительно точки О. если_________
Запишите определение в тетрадь, свой ответ сверьте с ответом на слайде.
Лабораторная работа №3А.
1.постройте прямоугольник.
2.На двух его противоположных сторонах отметьте середины сторон.
3. через эти две точки проведите прямую.
4.По одну сторону от этой прямой отметьте точку К
5.Постройте точку К1 симметричную точке К относительно прямой.
6. Сделайте вывод: если точка К принадлежит прямоугольнику, то где находится симметричная ей точка?
Определение: Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры______ ей симметричная точка так же _______ этой фигуре.
Проверьте свой вывод с помощью слайда.
Лабораторная работа №3Б.
- Постройте параллелограмм АВСД.
- Проведите диагонали параллелограмма.
- Отметьте их точку пересечения О.
- Отметьте на стороне АВ произвольную точку М и постройте точку М1 симметричную точке М относительно центра О.
- Отметьте на диагонали АС точку N, отличную от точки О и постройте точку N1 симметричную точке Nотносительно центра О.
- Сделайте вывод: если точка принадлежит параллелограмму, то где находится симметричная ей точка?
Определение: Фигура называется симметричной относительно центра, если для каждой точки фигуры___ ей симметричная точка так же _____ этой фигуре.
Проверьте свой вывод с помощью слайда.
Затем учащиеся возвращаются к началу урока. Группируют картинки уже с математической точки зрения.
Обращаются к слайду.
Делают выводы.
III этап. Практическая часть. ( проходят тест на проверку полученных знаний с помощью ЦОР)
IV этап. Применение симметрии в различных областях науки.
Идея симметрии часто является отправным пунктом в гипотезах и теориях ученых прошлых веков, веривших в математическую гармонию мироздания.
Так древнегреческий философ Платон придавал особое значение правильным многогранникам, считая их олицетворением четырех природных стихий:
Огонь – тетраэдр, земля – куб, воздух – октаэдр, вода – икосаэдр, вселенная – додекаэдр. (слайд)
Симметрия присутствует и в алгебре.
Рассматриваются графики квадратичной и кубической параболы, обсуждают, каким видом симметрии обладают графики этих функций.( слайд)
Симметрия присутствует в физике, химии, биологии.
Слайд. Симметрия в физике.
Рассматривается ЭУМ принцип относительности Галилея и Эйнштейна,
ЭУМ «Взаимосвязь магнитных и электрических полей»,ЭУМ «Магнитные поля планет и Солнца».
Слайд. Симметрия в химии.
ЭУМ «Строение и свойства твердых тел»,модель- кристаллическая решетка поваренной соли.
Слайд. Симметрия в биологии.
Модель «симметрия вирусов» (Слайд)
Рассматривается симметрия у растений, животных, человека.
Слайд. Симметрия в архитектуре.
Рассматривается симметрия в живописи, скульптуре, музыке, поэзии.
Vэтап. Подведение итогов урока.
Сфера влияния симметрии безгранична: природа, наука, искусство. Симметрия определяет гармонию природы, мудрость науки и красоту искусства.
VI этап. Домашнее задание.
Заполнить свободные части рисунков числами и фигурами, учитывая вид симметрии и формулы для вычисления.(Раздаточный материал)
VII этап. Рефлексия.
(учитель заготовил бумажные телефоны)
Учитель просит обменяться SMS-сообщениями, как прошел урок, как плодотворно работал каждый.
