Пирамида
Определение
Пирамида – это многогранник, составленный из многоугольника \(A_1A_2…A_n\) и \(n\) треугольников с общей вершиной \(P\) (не лежащей в плоскости многоугольника) и противолежащими ей сторонами, совпадающими со сторонами многоугольника. Обозначение: \(PA_1A_2…A_n\). Пример: пятиугольная пирамида \(PA_1A_2A_3A_4A_5\).
Треугольники \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) и т.д. называются боковыми гранями пирамиды, отрезки \(PA_1, PA_2\) и т.д. – боковыми ребрами, многоугольник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – основанием, точка \(P\) – вершиной.
Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Пирамида, в основании которой лежит треугольник, называется тетраэдром.
Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник и выполнено одно из условий:
\((a)\) боковые ребра пирамиды равны;
\((b)\) высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности;
\((c)\) боковые ребра наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.
\((d)\) боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом.
Правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, все грани которой – равные равносторонние треугольники.
Теорема
Условия \((a), (b), (c), (d)\) эквивалентны.
Доказательство
Проведем высоту пирамиды \(PH\). Пусть \(\alpha\) – плоскость основания пирамиды.
1) Докажем, что из \((a)\) следует \((b)\). Пусть \(PA_1=PA_2=PA_3=…=PA_n\).
Т.к. \(PH\perp \alpha\), то \(PH\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, значит, треугольники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,…, PA_nH\) – прямоугольные. Значит, эти треугольники равны по общему катету \(PH\) и гипотенузам \(PA_1=PA_2=PA_3=…=PA_n\). Значит, \(A_1H=A_2H=…=A_nH\). Значит, точки \(A_1, A_2, …, A_n\) находятся на одинаковом расстоянии от точки \(H\), следовательно, лежат на одной окружности с радиусом \(A_1H\). Эта окружность по определению и есть описанная около многоугольника \(A_1A_2…A_n\).
2) Докажем, что из \((b)\) следует \((c)\).
Аналогично первому пункту треугольники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,…, PA_nH\) прямоугольные и равны по двум катетам. Значит, равны и их углы, следовательно, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=…=\angle PA_nH\).
3) Докажем, что из \((c)\) следует \((a)\).
Аналогично первому пункту треугольники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,…, PA_nH\) прямоугольные и по катету и острому углу. Значит, равны и их гипотенузы, то есть \(PA_1=PA_2=PA_3=…=PA_n\).
4) Докажем, что из \((b)\) следует \((d)\).
Т.к. в правильном многоугольнике совпадают центры описанной и вписанной окружности (вообще говоря, эта точка называется центром правильного многоугольника), то \(H\) – центр вписанной окружности. Проведем перпендикуляры из точки \(H\) на стороны основания: \(HK_1, HK_2\) и т.д. Это – радиусы вписанной окружности (по определению). Тогда по ТТП (\(PH\) – перпендикуляр на плоскость, \(HK_1, HK_2\) и т.д. – проекции, перпендикулярные сторонам) наклонные \(PK_1, PK_2\) и т.д. перпендикулярны сторонам \(A_1A_2, A_2A_3\) и т.д. соответственно. Значит, по определению \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) равны углам между боковыми гранями и основанием. Т.к. треугольники \(PK_1H, PK_2H, …\) равны (как прямоугольные по двум катетам), то и углы \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, …\) равны.
5) Докажем, что из \((d)\) следует \((b)\).
Аналогично четвертому пункту треугольники \(PK_1H, PK_2H, …\) равны (как прямоугольные по катету и острому углу), значит, равны отрезки \(HK_1=HK_2=…=HK_n\). Значит, по определению, \(H\) – центр вписанной в основание окружности. Но т.к. у правильных многоугольников центры вписанной и описанной окружности совпадают, то \(H\) – центр описанной окружности. Чтд.
Следствие
Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники.
Определение
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Апофемы всех боковых граней правильной пирамиды равны между собой и являются также медианами и биссектрисами.
Важные замечания
1. Высота правильной треугольной пирамиды падает в точку пересечения высот (или биссектрис, или медиан) основания (основание – правильный треугольник).
2. Высота правильной четырехугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – квадрат).
3. Высота правильной шестиугольной пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания (основание – правильный шестиугольник).
4. Высота пирамиды перпендикулярна любой прямой, лежащей в основании.
Определение
Пирамида называется прямоугольной, если одно ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания.
Важные замечания
1. У прямоугольной пирамиды ребро, перпендикулярное основанию, является высотой пирамиды. То есть \(SR\) – высота.
2. Т.к. \(SR\) перпендикулярно любой прямой из основания, то \(\triangle SRM, \triangle SRP\) – прямоугольные треугольники.
3. Треугольники \(\triangle SRN, \triangle SRK\) – тоже прямоугольные. То есть любой треугольник, образованный этим ребром и диагональю, выходящей из вершины этого ребра, лежащей в основании, будет прямоугольным.
\[{\Large{\text{Объем и площадь поверхности пирамиды}}}\]
Теорема
Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту пирамиды: \[V_{\text{пирамиды}}=\dfrac13 S_{\text{осн}}\cdot h\]
Следствия
Пусть \(a\) – сторона основания, \(h\) – высота пирамиды.
1. Объем правильной треугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.треуг.пир.}}=\dfrac{\sqrt3}{12}a^2h\),
2. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.четыр.пир.}}=\dfrac13a^2h\).
3. Объем правильной шестиугольной пирамиды равен \(V_{\text{прав.шест.пир.}}=\dfrac{\sqrt3}{2}a^2h\).
4. Объем правильного тетраэдра равен \(V_{\text{прав.тетр.}}=\dfrac{\sqrt3}{12}a^3\).
Теорема
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна полупроизведению периметра основания на апофему.
\[{\Large{\text{Усеченная пирамида}}}\]
Определение
Рассмотрим произвольную пирамиду \(PA_1A_2A_3…A_n\). Проведем через некоторую точку, лежащую на боковом ребре пирамиды, плоскость параллельно основанию пирамиды. Данная плоскость разобьет пирамиду на два многогранника, один из которых – пирамида (\(PB_1B_2…B_n\)), а другой называется усеченная пирамида (\(A_1A_2…A_nB_1B_2…B_n\)).
Усеченная пирамида имеет два основания – многоугольники \(A_1A_2…A_n\) и \(B_1B_2…B_n\), которые подобны друг другу.
Высота усеченной пирамиды – это перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки верхнего основания к плоскости нижнего основания.
Важные замечания
1. Все боковые грани усеченной пирамиды – трапеции.
2. Отрезок, соединяющий центры оснований правильной усеченной пирамиды (то есть пирамиды, полученной сечением правильной пирамиды), является высотой.
