Решение треугольников
Сегодня на уроке мы подытожим наши знания по разделу «Соотношения между сторонами и углами треугольника».
Прежде чем приступить к решению задач, давайте вспомним основной теоритический материал этой темы.
Формула для вычисления площади треугольника:
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Расширенная теорема синусов:
Решить треугольник
– это значит найти все его элементы (три стороны и три угла) по каким-нибудь известным трем элементам, определяющим треугольник.
К задачам такого плана относятся следующие задачи: решение треугольника по трем сторонам; решение треугольника по трем углам; решение треугольника по двум сторонам и углу между ними; решение треугольника по двум сторонам и углу, не лежащего между ними; решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам; решение треугольников по стороне и произвольным двум углам.
Рассмотрим каждый вид таких задач отдельно.
Начнем с решения треугольника по трем углам.
Запишем теорему синусов и косинусов и подумаем, с помощью какой из них можно решить треугольник.
Обе эти теоремы содержат длины сторон, поэтому зная только углы треугольника нельзя найти длины сторон треугольника.
Попробуем теперь решить треугольник по трем сторонам.
Зная длины всех сторон треугольника, по теореме косинусов можно найти косинусы всех углов треугольника. А, зная косинус угла, сам угол найти несложно. Для этого можно воспользоваться либо калькулятором либо таблицами Брадиса.
Значит в этом случае решить треугольник можно с помощью теоремы косинусов.
Рассмотрим пример.
Задача.
Найти углы треугольника, если стороны треугольника равны 25, 20, 17.
Решение.
Ответ:
; ; .
Следующим мы рассмотрим решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.
Сразу замечаем, что третий угол найти нетрудно, он равен разности 180° и известных углов .
Запишем теорему синусов.
Из каждого равенства, мы можем найти сторону треугольника. Таким образом, зная длину одной стороны и величину двух прилежащих к ней углов, можно найти все остальные элементы треугольника, используя теорему синусов.
Задача.
Решить треугольник, если одна из сторон треугольника равна , а углы прилежащие к этой стороне равны и ° соответственно.
Решение.
Ответ:
.
Задача.
Решить треугольник если две стороны его равны см и см соответственно, а угол между ними равен .
Решение.
Ответ:
.
Теперь давайте посмотрим, а можно ли решить треугольник, если мы знаем две стороны и угол, который не лежит между ними.
Да, можно. Для этого по теореме синусов надо найти второй угол треугольника, а затем и третий угол и по теореме косинусов найти третью сторону треугольника.
То есть и в этом случае треугольник можно решить с помощью теоремы синусов или теоремы косинусов.
Задача.
Решить треугольник, если две его стороны равны и , а один из углов, не лежащий между этими сторонами, равен .
Решение.
Ответ:
.
Итак, давайте обобщим.
Если в треугольнике известны величины трех углов, то решить его нельзя.
Если в треугольнике известны три стороны, то решить такой треугольник можно по теореме косинусов.
Если в треугольнике известна сторона и два любых угла, то решить такой треугольник можно с помощью теоремы синусов.
Если в треугольнике известны две стороны и угол между ними, то решить такой треугольник можно с помощью теоремы косинусов или теоремы синусов.
Если же нам известны две стороны и любой угол, который не лежит между ними, то треугольник можно решить по теореме синусов и косинусов.
Конспект открытого урока по теме «Решение треугольников» (9 класс)
Тема урока.
«Решение треугольников»
Класс 9
Дата урока: 05.12.2017
Цели урока.
Обучающая. Отработать навыки решения типовых задач с использованием теорем синусов, косинусов, теоремы Пифагора.
Воспитывающая. Воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям.
Развивающая. Развитие воли и самостоятельности (развитие инициативы, уверенности в своих силах; развитие настойчивости, умения преодолевать трудности для достижения намеченной цели; развитие умения владеть собой – выдержка, самообладание; развитие умений действовать самостоятельно).
Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний и умений
ХОД УРОКА
I. Вступительная часть – 3 мин.
Треугольник… Знакомый вам с детства, и начиная с 7 класса, с уроков геометрии, геометрическая фигура, таит в себе немало интересного и загадочного, как Бермудский треугольник, в котором бесследно исчезают корабли и самолеты. Знакомые нам фигуры квадрат, параллелограмм, прямоугольник, ромб, трапеция состоят из двух треугольников, если провести одну диагональ и из четырех треугольников, если провести две диагонали. В 10-11 классах тоже применяются решения треугольников, поэтому вы должны научиться решать любой треугольник. Прежде чем решать задачи, повторим тему “Решение треугольников”.
Условия:
• быть внимательными и сообразительными;
• не оставлять ни одного вопроса без ответа;
• на каждое задание минимум времени, но максимум усердия;
• не подглядывать, не подслушивать, не мешать соседям.
II. Повторение.
- Что называют решением треугольников?
- Какие теоремы применяются при решении треугольников?
- Сформулируйте теорему синусов? Теорему косинусов?
- Чему равна сумма углов треугольника?
- Какие задачи при этом можно выделить?
(по стороне и двум прилежащим к ней углам; по двум сторонам и углу между ними; по трём сторонам; по стороне, прилежащему к ней углу и стороне противолежащей данному углу)
- Запишите, пользуясь теоремой косинусов, квадрат стороны с треугольника АВС, если: 1) =600; 2) =300; 3) =450. (с2=а2+в2-ав; с2=а2+в2-ав; с2=а2+в2-ав)
- Чему равен ? ()
8.. Как, используя теорему косинусов определить вид треугольника? (достаточно определить знак косинуса, соответствующего наибольшему углу, если сторона а наибольшая, то достаточно определить знак величины в2+с2-а2)
9. В треугольнике KLN, KL=8,4 cм, LN=13,2 см, KN=7,5 см. Какой угол треугольника наибольший, какой наименьший?
10. Стороны треугольника 10см, 12см, 7см. Может ли угол, противолежащий стороне 7см, быть тупым? Почему?
11. Стороны треугольника 9см и 12см. Может ли угол, противолежащий стороне равной 9см, быть прямым? Почему?
III. Работа с сигнальными карточками.
Тест на определение истинности (ложности) утверждения и правильности формулировок.
- В треугольнике против угла в 150° лежит большая сторона. (И)
- В равностороннем треугольнике внутренние углы равны между собой и каждый равен 60°.(И)
- Существует треугольник со сторонами: 2 см, 7 см, 3 см. (Л)
- Прямоугольный равнобедренный треугольник имеет равные катеты. (И)
- Сумма длин двух сторон любого треугольника меньше третьей стороны. (Л)
- Если острый угол прямоугольного треугольника равен 60°, то прилежащий к нему катет равен половине гипотенузы. (И)
- Существует треугольник с двумя тупыми углами. (Л)
- В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.(И)
VI. Отработка формул.
Найдите ошибку в ответе товарища:
1) а
2 =
в2+ с2+ 2вc cos4)
2) в2
= а2+ с2– 2вс cos
5)
3) а2
=
а2+ с2— 2ас sin
6)
III Решение задач на повторение. 2 ученика онлайн-тест.
Решение задач по уровням:
1 группа: уровень С
Задача:
В треугольнике АВС угол В равен 600. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке Д; АД=4см, ВД=6см. Найдите углы треугольника АВС и его сторону АС.
Решение:
2 группа: уровень В
Задача:
В треугольнике АВС АВ=0,6см, ВС=0,5см, . Найдите сторону АС.
Решение:
3 группа: уровень А
Задача:
В треугольнике АВС АВ=10см, . Найдите сторону АС.
Решение:
IV Историческая справка:
Зачем нужны эти задачи? В Древней Греции, наряду с блестящим развитием теоретической геометрии, научных методов исследования и логических доказательств, большое значение имела прикладная геометрия. Римляне вообще занимались лишь одной практической и прикладной стороной математики, необходимой для землемерия, строительства городов, технических и военных сооружений.
Нить практической геометрии тянулась от вавилонян и древних египтян через Герона вплоть до новых времён.
В 16 – 17 веках всё более развивающаяся промышленность и торговля требуют удовлетворения, в первую очередь, практических нужд. Появление первых инструментов и аппаратов для научных исследований (термометра, телескопа, барометра, микроскопа и др.) вызвало интерес к практической стороне науки и особенно к практической геометрии, которая нужна была для военных целей, мореплавания, строительства и землемерия. В этот период появляется много руководств по геометрии, в которых излагаются правила, формулы и рецепты для решения тех или иных практических задач.
Задача №1. Для украшения новогодней елки высотой 6 м с двух противоположных сторон на расстоянии 4 м от елки вбили в землю два металлических полукольца. Какой должна быть длина тросов, протянутых от верхушки елки к полукольцам? Радиусом колец пренебречь. Найти угол наклона троса.
Задача № 2. Пожарная лестница, стоящая на машине, может быть выдвинута на 20 м, а её крутизна может достигать 700. Основание лестницы находится на высоте 2 м. До какого этажа можно по ней добраться, если высота этажа 3 м?
Задача № 3. Спортивный самолёт летит по замкнутому треугольному маршруту. Два угла этого треугольника равны 600 и 1000. Сторону, лежащую против третьего угла, он пролетел за 1 час. За сколько времени он пролетит весь маршрут, сохраняя постоянную скорость?
Решение
Ответ: за 4 часа самолёт пролетит весь маршрут.
Задача № 4. Найдите длину отрезка, в концы которого упираются ножки циркуля-измерителя, длиной 15 см, если они образуют угол в 300.
Решение Ответ: 7,8 см.
V.Подведение итогов урока
.
синквейн—
стихотворение по алгоритму:
— развивают поэтические способности учеников.
Закончим урок словами великого итальянского ученого Галилео Галилея: “Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает возможность правильно мыслить и рассуждать”.
VI.
Задание на дом.1.
Определить наиболее экономное расходование троса для укрепления елки.
2. 3 уровень:
Задача:
«Две планки длиной 35см и 42см скреплены одним концом. Какой угол между ними надо взять, чтобы расстояние между другими концами планок равнялось 24см?»
2 уровень:
Задача:
«Две планки длиной 35см и 42см скреплены одним концом. Какой угол между ними надо взять, чтобы расстояние между другими концами планок равнялось 24см? Может ли это расстояние для какого-нибудь угла равняться 5см; 80см?»
1 уровень:
Задача:
В 12ч00мин нарушитель свернул с основной магистрали и помчался по шоссе со скоростью 140 км/ч. В 12ч00мин инспектор ГАИ помчался по просёлку со скоростью 70 км/ч на перерез нарушителю. Успеет ли инспектор остановить нарушителя у перекрёстка шоссе и просёлка?
В Древней Греции, наряду с блестящим развитием теоретической геометрии, научных методов исследования и логических доказательств, большое значение имела прикладная геометрия. Римляне вообще занимались лишь одной практической и прикладной стороной математики, необходимой для землемерия, строительства городов, технических и военных сооружений.
Нить практической геометрии тянулась от вавилонян и древних египтян через Герона вплоть до новых времён.
В 16 – 17 веках всё более развивающаяся промышленность и торговля требуют удовлетворения, в первую очередь, практических нужд. Появление первых инструментов и аппаратов для научных исследований (термометра, телескопа, барометра, микроскопа и др.) вызвало интерес к практической стороне науки и особенно к практической геометрии, которая нужна была для военных целей, мореплавания, строительства и землемерия. В этот период появляется много руководств по геометрии, в которых излагаются правила, формулы и рецепты для решения тех или иных практических задач.
