Презентация на тему: "Готовимся к ЕГЭ. Прототипы В 9, В 11. Тела вращения. Комбинации тел. В создании презентации принимали участие ученики 11 АБВ классов. Научный руководитель:". Скачать бесплатно и

Тела вращения: задача 14 профильного ЕГЭ

Цилиндры, сферы и конусы: будем вписывать их в другие объекты, будем рассекать их различными плоскостями, отыскивать углы наклона этих сечений к основанию или их площади.

Задача 1. В правильную шестиугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Сфера вписана в пирамиду

Так как сфера касается всех граней, то точки касания обязательно лежат на апофемах граней. Нарисуем пирамиду в разрезе, причем разрез пройдет по апофемам противолежащих граней. Тогда сечение – треугольник MSN, а сечение сферы – вписанная в этот треугольник окружность. Разберемся, отрезки каких длин в этом сечении присутствуют. Так как высота пирамиды 6, а боковое ребро 10, найдем длину отрезка :

Так как основание пирамиды составлено из правильных треугольников, то длина равна ребру основания. Теперь можем определить длину апофемы:

Основание треугольника сечения составлено из двух одинаковых отрезков, которые равны высоте треугольника , например. Так как это правильный треугольник со стороной 8, то высота этого треугольника равна , а длина MN тогда .

Сечение пирамиды

Итак, теперь мы знаем стороны треугольника сечения : , . Определим радиус вписанной в него окружности.

Вписанная в сечение пирамиды окружность (сечение сферы)

Как известно, радиус вписанной окружности можно определить через площадь:

Теперь, зная радиус, можно найти и площадь поверхности сферы:

Ответ:

Задача 2. Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 8. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания, длина которой равна 4. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Сечение конуса

Образующую конуса можно найти из осевого сечения по теореме Пифагора.

Отрезок OP – высота треугольника . В треугольнике MON стороны равны 4, 6 и 6, определим его площадь по формуле Герона и затем найдем высоту:

Полупериметр треугольника MON равен 8, площадь:

Искомое расстояние – высота треугольника , проведенная к SP. Определим высоту сечения SP.

Дополнительные построения к задаче

По теореме Пифагора

Площадь треугольника SOP:

Наконец, искомое расстояние:

Ответ:

Задача 3. В правильную четырёхугольную пирамиду, боковое ребро которой равно 10, а высота равна 6, вписана сфера. (Сфера касается всех граней пирамиды.) Найдите площадь этой сферы.

Пирамида, в которую надо вписать сферу

Так как сфера касается всех граней, то точки касания обязательно лежат на апофемах граней. Нарисуем пирамиду в разрезе, причем разрез пройдет по апофемам противолежащих граней. Тогда сечение – треугольник SQP, а сечение сферы – вписанная в этот треугольник окружность. Разберемся, отрезки каких длин в этом сечении присутствуют. Так как высота пирамиды 6, а боковое ребро 10, найдем длину отрезка :

Тогда равна , так как треугольник – равнобедренный и прямоугольный, имеет острые углы по , тригонометрические функции которых хорошо известны:

Определим длину апофемы грани:

В треугольнике SQP стороны: , Определим радиус вписанной в него окружности.

Как известно, радиус вписанной окружности можно определить через площадь:

Теперь, зная радиус, можно найти и площадь поверхности сферы:

Ответ:

Задача 4. Радиус основания конуса с вершиной равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки и , делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:5. Найдите площадь сечения конуса плоскостью .

Дуги окружности основания конуса и сечение

Длины дуг окружности пропорциональны центральным углам, поэтому , . Таким образом, поскольку радиус основания конуса равен 6, то треугольник MON правильный и длина хорды . Далее просто пользуемся формулой Герона для определения площади сечения:

Ответ:

Задача 5. Две параллельные плоскости, расстояние между которыми 2, пересекают шар. Одна из плоскостей проходит через центр шара. Отношение площадей сечений шара этими плоскостями равно 0,84. Найдите радиус шара.

Сфера и ее сечения

Площадь сечения шара плоскостью – окружность. Площадь окружности

Большая окружность проходит через центр сферы, поэтому ее радиус – радиус сферы R. Тогда отношение площадей:

Рассмотрим треугольник . В нем , , . Это прямоугольный треугольник, поэтому

Или

Тогда:

Получили уравнение:

Ответ:

Теоретический материал и практические задания по теме «Тела вращения» 10-11 класс

Тема: Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.

Задание 1: Написать конспект, сделать рисунки

Задание 2: Решить задачи

Образующая конуса равна 10, высота конуса 6. Найдите радиус конуса.
Осевое сечение конуса равносторонний треугольник со стороной 10см. Найти радиус основания и высоту конуса.

Практическая работа № 27

Тема: Решение задач по теме «Цилиндр и конус»

1.Радиус основания цилиндра 2 см, высота 3 см. Найдите диагональ осевого

сечения.

2 Радиус основания цилиндра равен 5 см, а его образующая – 9 см. Найдите

площадь осевого сечения.

3.Прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 4 см, вращается около меньшей стороны. Найдите высоту и диаметр основания.

4.Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите образующую l.

5.Радиус основания конуса R. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.

Литература Дадаян А.А. Математика: учебник— 3-е изд., испр. и доп. — М.: ИНФРА-М, 2020. — 544 с. — (Cреднее профессиональное образование). — Режим доступа: https://znanium.com/catalog/product/1006658, §13.1, с.405

Выполненные практические работы и задания по теоретическому материалу высылать на адрес: Если возникнут вопросы, задавайте! Не стесняйтесь!

Тема: Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

План:

1.Шар, его элементы. Уравнение шара.

2.Сфера. Уравнение сферы.

1.Шар

— тело вращения, полученное вращением полукруга около его неподвижного диаметра.

Примеры тел, имеющих форму шара или сферы: купол здания может иметь форму части сферы, отсеченной плоскостью; земля имеет форму, близкую к шару; бильярдный мяч. Приведите свои примеры.

Элементы шара:

Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой его поверхности, называется радиусом

. Поверхность шара называется
сферой.
Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящей через центр шара, называется диаметром

Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками

шара.

Диаметр называется осью шара

, а его оба конца —
полюсами
шара.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью.

Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярная радиусу, проведенному в точку А, называется касательной плоскостью

. Точка А называется
точкой касания
.

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом

. Другие плоские сечения шара называются
малыми кругами.
Шар

— это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, расстояние от которых не превышает определенного расстояния R до точки, называемой центром шара О.

Шар

— совокупность всех точек трехмерного пространства ограниченных сферой.

Уравнение шара

1. Уравнение шара с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат:

x2 + y2 + z2 ≤ R2

2. Уравнение шара с радиусом R и центром в точке с координатами (x0, y0, z0) в декартовой системе координат:

(x — x0)2 + (y — y0)2 + (z — z0)2 ≤ R2

2.Сфера

это поверхность шара.

Сфера

— это совокупность всех точек в трехмерном пространстве, которые находятся на одинаковом расстоянии R от одной точки, называемой центром сферы О.

Сферу можно описать, как объёмную фигуру, которая образуется вращением окружности вокруг своего диаметра на 180° или полуокружности вокруг своего диаметра на 360°.

Уравнение сферы

1. Уравнение сферы с радиусом R и центром в начале декартовой системе координат:

x2 + y2 + z2 = R2

2. Уравнение сферы с радиусом R и центром в точке с координатами (x0, y0, z0) в декартовой системе координат:

(x — x0)2 + (y — y0)2 + (z — z0)2 = R2

Вопросы по теме «Шар и сфера»

Что такое шар? Что является поверхностью шара?

Что такое радиус шара, диаметр шара? Какие точки шара называются диаметрально противоположными?

Что такое большой круг шара?

https://resh.edu.ru/subject/17/11/, урок №8

Практическая работа № 28

Тема: Решение задач по теме «Тела вращения».

Вариант 1 Вариант 2

Записать уравнение шара, если известны координаты его центра и радиус:

А(0;0;-1), R=2 А(1;0;-2), R=

Определить координаты центра и радиус сферы, если

(х+4)2+(у-3)2+ z2=7 х2+(у-2)2+ (z+3)2=5

Образующая конуса равна L. Найти высоту конуса Н, если угол при основании равен 30°.

Найти диагональ осевого сечения цилиндра, если радиус равен R, образующая равна L.

L= L

R=2 R=3

Дано уравнение сферы х2+у2+ z2=9 и три точки А(2;-1;1), В(2;2;-1), С(-1;-2;5). Установить, какая из точек находится внутри сферы, какая лежит на сфере, какая вне сферы.

Понятие о геометрическом теле

Перед тем как ввести определение геометрического тела, введем следующие несколько вводных понятий.
Определение 1

Точка называется граничной для какой-либо фигуры, если близкие к ней точки как содержатся в фигуре, так и не содержатся в ней.

Определение 2

Границей какой-либо фигуры называется совокупность всех граничных точек для этой фигуры.

Определение 3

Точка называется внутренней для какой-либо фигуры, если она принадлежит этой фигуре, но при этом не является граничной для нее.

Определение 4

Фигура называется ограниченной, если ей можно вписать в какую-либо сферу пространства.

Определение 5

Фигура называется связной, если любые точки, принадлежащие этой фигуре, могут быть соединены какой-либо непрерывной линией, не выходящей за границы этой фигуры.

Введем теперь, наконец-то, непосредственно определение геометрического тела.

Определение 6

Геометрическое тело — это фигура в пространстве, которая является ограниченной, связной и содержит все свои граничные точки.

Готовые работы на аналогичную тему

Курсовая работа Тела и поверхности вращения 400 руб.
Реферат Тела и поверхности вращения 240 руб.
Контрольная работа Тела и поверхности вращения 210 руб.

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту Узнать стоимость

Граница геометрического тела называется поверхностью этого геометрического тела.

Примерами геометрического тела могут служить многогранники и тела вращения. [/Определение]

Определение 7

Многогранником называется геометрическое тело в пространстве, которое ограниченно несколькими многоугольниками.

Примерами многогранников могут быть тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и другие (рис. 1).

Рисунок 1. Примеры многогранников

Далее подробно рассмотрим тела вращения.

Тела вращения и их сечения

Телом вращения называется тело, образованное в результате вращения какой-либо линии вокруг прямой.

Примеры тел вращения.

Шар − образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза.

Цилиндр − образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон.

Конус − образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов.

При пересечении тела вращения плоскостью получается плоская фигура, ограниченная в большинстве случаев кривой линией. В частных случаях фигурой сечения может быть прямоугольник (для цилиндра) и треугольник (для конуса).

Осевым сечением цилиндра называется сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Осевое сечение цилиндра – прямоугольник, две стороны которого – образующие цилиндра, а две другие стороны – диаметры оснований цилиндра.

Секущая плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, пересекает его по кругу.

Если плоскость проходит через высоту конуса FO, то сечение конуса этой плоскостью называют осевым и оно представляет собой равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса, а боковыми сторонами – образующие конуса.

Сечение поверхности цилиндра

Бывают следующие случаи сечения поверхности прямого кругового цилиндра плоскостью:

1) окружность, если секущая плоскость Р перпендикулярна оси цилиндра, причем она параллельна основанию цилиндра;

2) эллипс, если секущая плоскость Р не перпендикулярна и не параллельна оси цилиндра;

3) пара прямых, если секущая плоскость Q содержит ось цилиндра или параллельна ей.

Сечение поверхности конуса

В общем случае круговая коническая поверхность включает в себя две совершенно одинаковые полости, которые имеют общую вершину. Образующие одной полости представляют собой продолжение образующих другой полости.

Бывают различные случаи сечения поверхности кругового конуса плоскостью.

1. Эллипс, если секущая плоскость не параллельна ни одной образующей (рис. 107 б). Здесь секущая плоскость пересекает поверхность только одной полости конуса. Угол наклона секущей плоскости по отношению к основанию конуса меньше угла, который образующая конуса составляет с основанием конуса. Здесь угол является углом, который образующая составляет с основанием.

2. Парабола, если секущая плоскость параллельна только одной образующей (рис. 107 в).

3. Гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим (рис. 107 а). При этом секущая плоскость пересекает обе полости конуса. Угол наклона секущей плоскости по отношению к основанию конуса больше угла.

4. Пара прямых, если секущая плоскость проходит через вершину конуса и угол ее наклона к основанию конуса больше угла. Этот случай иногда рассматривают как частный случай гиперболы.

Сечение шара

Всякое сечение шара плоскостью есть круг (или точка, если плоскость касается шара). Основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к пересекаемой плоскости, есть центр круга, полученного в сечении.

При решении заданий удобнее вместо шара чертить один из больших кругов, а плоскость сечения заменить хордой этого круга.

Плоскость, проходящая через центр сферы (шара), называется диаметральной плоскостью.

Сечение сферы (шара) диаметральной плоскостью называется большой окружностью (большим кругом).