Конспект урока по геометрии для 8 класса по теме «Теорема Пифагора»


Задачи с фантазией – 18: теорема Пифагора.

Вы думаете, что теорема Пифагора – это совсем несложно? Ну, в общем, да. Но интересные задачи все же иногда можно встретить. В основном мы столкнемся здесь с отношениями и сравнением чисел.

Задача 1. Один из катетов прямоугольного треугольника на 10 больше другого и на 10 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Решение. Показать

Запишем для этого треугольника теорему Пифагора. Для этого обозначим катеты и , а гипотенузу . Тогда

Откуда . Тогда гипотенуза на 10 больше – 50.

Ответ: 50.

Задача 2. В треугольнике ABC угол BAC прямой, длины сторон AB и BC равны соответственно 1 и 3. Точка K делит сторону AC в отношении 7:1, считая от точки A. Что больше: длина AC или длина BK?

Решение. Показать

теорема пифагора
Рисунок 1

Чтобы найти , которая является биссектрисой в треугольнике , нужно знать длину катета . Найдем его:

Теперь для треугольника составим теорему Пифагора

Осталось сравнить числа и 3. Представим последнее как

Ответ: длина больше.

Задача 3. В прямоугольнике ABCD длины отрезков AB и BD равны соответственно 2 и . Точка M делит отрезок CD в отношении 1:2, считая от точки C, K – середина AD. Что больше: длина BK или длина AM?

Решение. Показать

теорема пифагора
Рисунок 2

Определим сначала . Для этого найдем .

Теперь переходим к треугольнику , где – гипотенуза.

Найдем теперь :

Осталось сравнить дроби и . При приведении к общему знаменателю получаем

Таким образом, длина больше длины . Это ответ.

Задача 4. В треугольнике ABC угол BAC прямой, длины сторон AB и BC равны соответственно 5 и 6. Точка K делит сторону AC в отношении 3:1, считая от точки A, AH – высота треугольника ABC. Что больше: 2 или отношение длины BK к длине AH?

Решение. Показать

теорема пифагора
Рисунок 3

Чтобы найти высоту треугольника , определим его удвоенную площадь, так как

определим по теореме Пифагора:

Теперь найдем , чтобы найти :

Тогда

Отношение

Сравним теперь и .

Таким образом, .

Задача 5. В равнобедренном треугольнике ABC длина основания AC равна 2, длина боковой стороны равна 8. Точка K делит высоту BD треугольника в отношении 2:3, считая от точки B. Что больше: длина CK или длина AC?

Решение. Показать

теорема Пифагора
Рисунок 4

Длина высоты :

Длина отрезка :

По теореме Пифагора определяем :

Таким образом, .

Задача 6. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 3, 4, 5.

Решение. Показать

Треугольник подчиняется теореме Пифагора, он прямоугольный. Гипотенуза его . Пусть катеты , .

Сначала вписанная окружность.

Рисунок 5

Пусть – точки касания окружности. Тогда по теореме об отрезках касательных, проведенных из одной точки, . Но длины этих отрезков равны радиусу . Тогда

Откуда

Теперь вневписанные окружности: рассмотрим сначала зеленую.

вневписанная окружность
Рисунок 6

По теореме об отрезках касательных, проведенных из одной точки, , .

Но . Тогда (периметру треугольника ). Но , опять же, по свойству касательных. Тогда .

Так как , то

Теперь рассмотрим фиолетовую окружность.

, .

Но . Тогда (периметру треугольника ). Но , опять же, по свойству касательных. Тогда .

Так как , то

Наконец, последняя, самая большая.

Ответ: , , , .

Задача 7. Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Найдите длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 и 50, а их проекции на данную прямую относятся как 3 : 10.

Решение. Показать

пифагора
Рисунок 7

По теореме Пифагора

Тогда

Откуда , , следовательно, .

Ответ: 40.

Задача 8. В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны и . Найдите гипотенузу треугольника.

Решение. Показать

теорема пифагора
Рисунок 8

Составим теорему Пифагора для треугольников и . Пусть , тогда

Если , то

Первое уравнение умножаем на 4, чтобы уравнять коэффициенты:

Вычитаем из него второе уравнение:

Следовательно, , катеты треугольника 6 и 8, гипотенуза, следовательно, 10.

Ответ: 10.

Задача 9. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные 5 и 12. Найдите катеты треугольника.

Решение. Показать

теорема пифагора
Рисунок 9

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем: , , . Тогда

По теореме Виета получаем корни: 3 и (-20). По условию устраивает положительный корень. Катеты равны тогда 8 и 15.

Ответ: 8 и 15.

Конспект урока геометрии «Теорема Пифагора», 8 класс

Конспект урока по математике 8 класс «Теорема Пифагора».
Учитель математики Зайцева Татьяна Евгеньевна. Место работы МБОУ СОШ № 13, г.Новосибирск.
Аннотация: разработка урока по геометрии в 8 классе на тему «Теорема Пифагора». Закрепления учебного материала, применение теоремы Пифагора в решении практических задач.

Тема урока «Теорема Пифагора»
Цель: 1. Закрепить умение применять теорему Пифагора и теорему, обратную теореме Пифагора, при решении прикладных задач. 2. Развить самостоятельность и познавательный интерес в изучении геометрии, логическое мышление и навыки самоконтроля. 3. Воспитать культуру математической речи, уважительное отношение к мнению окружающих. Задачи: 1) Помогать учащимся в формировании умений и навыков работы с дополнительной информацией, умений обобщать и самостоятельно делать выводы. 2) Продолжить формировать навыки анализа, умения строить доказательства при изучении теоремы. 3) Помогать учащимся в нахождении значений применяемости теоремы для человечества в быту, строительстве в разные эпохи существования человечества. 4) Воспитывать эстетический вкус у учащихся через восприятие картин и красоты; 5) Помогать в развитии у учащихся познавательного интереса к изучению геометрии; 5) Продолжить формирование умений представлять результаты своей работы. Тип урока: урок закрепления полученных знаний Формы работы: фронтальная, групповая, индивидуальная, самостоятельная Оборудование: • персональный компьютер • мультимедийный проектор • экран • авторская презентация, подготовленная с помощью Microsoft Power Point • CD – диск, мультимедийный курс «ПЛАНИМЕТРИЯ», серия «Открытая математика» ФИЗИКОН (www.physicon.ru), полный интерактивный курс математики для общеобразовательных учреждений России, ВЕРСИЯ 2.5 • карточки с заданиями Структура урока 1. Организационный момент 2. Актуализация имеющихся знаний обучающихся по теме (формулировка и доказательство теоремы Пифагора, решение задач по готовым чертежам) 3. Сообщения обучающихся (историческая справка, рассмотрение классических доказательств теоремы Пифагора) 4. Решение практических и древних задач 5. Проверочная работа с самоконтролем 6. Итог урока. Рефлексия 7. Домашнее задание ХОД УРОКА: 1. Организационный момент урока:
приветствие, проверка готовности к уроку (рабочих тетрадей, учебников, письменных принадлежностей). Тема урока слайд 1, цель урок слайд 2, план урока слайд 3 .
(1-2 минуты)
2.
Актуализация знаний, полученных учащимися на предыдущем уроке(5 минут)
: • Формулировка теоремы Пифагора; слайд 4 • Формулировка теоремы, обратной теореме Пифагора слайд 5
Доказательство теоремы Пифагора можно осуществить с помощью мультимедийного диска «ПЛАНИМЕТРИЯ», версия 2.5, серия «ОТКРЫТАЯ МАТЕМАТИКА» Физикон. (Модели. 5.2. Доказательство теоремы Пифагора)


Данная модель иллюстрирует геометрическое доказательство теоремы Пифагора. С помощью мыши можно выбрать произвольный прямоугольный треугольник. В режиме «Демонстрация» модель автоматически показывает геометрическое доказательство теоремы Пифагора. В режиме «Доказать самостоятельно» Вы можете сделать необходимые для доказательства самостоятельные построения, меняя положения треугольников в квадрате.С целью актуализации знаний обучающимся предлагаются задачи по готовым чертежам. 2.1. Слайд 6. Найти неизвестную сторону треугольника.


2.2. Слайд 7. Решите задачу (нахождение периметра ромба с использованием теоремы Пифагора)


2.3. Слайд 8. Задача на применение теоремы, обратной теореме Пифагора


3. Сообщения учащихся (5-7 минут). 3.1. Экскурс в историю. Знакомство с жизнью и достижениями великого ученого. История открытия теоремы Пифагора. 3.2. Обучающимся предлагается сравнить предложенное доказательство с доказательством, рассмотренным на предыдущем уроке, выявить сходства и различия. 4. Закрепление теоремы Пифагора при решении практических и древних задач (10-15 минут). Работа в парах с последующей проверкой. 4.1. Задача №1 (слайд 9) «Древнерусская задача». Условие задачи разбирается устно, чертеж и решение учащиеся записывают в тетрадях. (Ответ: 44 стопы)
.


4.2.
Задача №2 (слайд 10) «Тополь у реки» — для устного решения. (Ответ: 8 футов).


4.3. Задача №3 (слайд 11). Нахождение длины главной аллеи Центрального парка города Новосибирска.
Условие задачи разбирается устно, чертеж и решение учащиеся записывают в тетрадях, 1 ученик работает у доски. (Ответ: 412 м).


4.4.
Задача № 4 (мультимедийный CD – диск, ПЛАНИМЕТРИЯ) Содержание. ГЛАВА 5. Решение треугольников.5.1. Прямоугольный треугольник. Задачи. Задача № 6.


5. Самостоятельная работа с самоконтролем (15 минут). Учащимся предлагается ТЕСТ, карточки (см. приложение) с заданиями на 2 варианта. Фамилию и ответы учащиеся записывают на карточках, а краткое решение в тетрадях.


6. Итог урока. Рефлексия (3-5 минут). (слайд 12) В конце урока подводится его итог, обсуждение того, что узнали, и того, как работали – т.е. каждый оценивает свой вклад в достижение поставленных в начале урока целей, свою активность, эффективность работы класса, увлекательность и полезность выбранных форм работы. Ребята высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске: сегодня я узнал… было интересно… было трудно… я выполнял задания… я понял, что… теперь я могу… я почувствовал, что… я приобрел… я научился… у меня получилось … я смог… я попробую… меня удивило… урок дал мне для жизни… мне захотелось…7. Домашнее задание. 1. Фронтон Большого театра в Москве имеет форму равнобедренного треугольника с боковыми сторонами по 21,5 м и основанием 42 м (размеры приближены). Вычислите площадь фронтона. 2. Найдите ещё одно доказательство теоремы Пифагора (по выбору).

Рекомендуем посмотреть:

Кроссворд по геометрии с ответами для 8 класса Конспект урока алгебры по теме «Квадратные уравнения» с использованием интерактивного учебного пособ Внеклассное мероприятие по математике, 7-9 класс Многоуровненвая система учебно — тренеровочных задач по теме: Дробно-рациональные уравнения, 8 клас

Похожие статьи:

Программа факультатива по математике, 8-9 класс

Олимпиада по математике в 8 классе с решением

Конспект урока по алгебре в 8 классе. Решение квадратных уравнений

Открытый урок по алгебре в 8 классе «Решение квадратных уравнений по формуле»

Урок алгебры в 8 классе. Тема урока: «Решение задач с помощью рациональных уравнений»

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями: