Задачи с фантазией – 18: теорема Пифагора.
Вы думаете, что теорема Пифагора – это совсем несложно? Ну, в общем, да. Но интересные задачи все же иногда можно встретить. В основном мы столкнемся здесь с отношениями и сравнением чисел.
Задача 1. Один из катетов прямоугольного треугольника на 10 больше другого и на 10 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу этого треугольника.
Решение. Показать
Запишем для этого треугольника теорему Пифагора. Для этого обозначим катеты и , а гипотенузу . Тогда
Откуда . Тогда гипотенуза на 10 больше – 50.
Ответ: 50.
Задача 2. В треугольнике ABC угол BAC прямой, длины сторон AB и BC равны соответственно 1 и 3. Точка K делит сторону AC в отношении 7:1, считая от точки A. Что больше: длина AC или длина BK?
Решение. Показать
Рисунок 1
Чтобы найти , которая является биссектрисой в треугольнике , нужно знать длину катета . Найдем его:
Теперь для треугольника составим теорему Пифагора
Осталось сравнить числа и 3. Представим последнее как
Ответ: длина больше.
Задача 3. В прямоугольнике ABCD длины отрезков AB и BD равны соответственно 2 и . Точка M делит отрезок CD в отношении 1:2, считая от точки C, K – середина AD. Что больше: длина BK или длина AM?
Решение. Показать
Рисунок 2
Определим сначала . Для этого найдем .
Теперь переходим к треугольнику , где – гипотенуза.
Найдем теперь :
Осталось сравнить дроби и . При приведении к общему знаменателю получаем
Таким образом, длина больше длины . Это ответ.
Задача 4. В треугольнике ABC угол BAC прямой, длины сторон AB и BC равны соответственно 5 и 6. Точка K делит сторону AC в отношении 3:1, считая от точки A, AH – высота треугольника ABC. Что больше: 2 или отношение длины BK к длине AH?
Решение. Показать
Рисунок 3
Чтобы найти высоту треугольника , определим его удвоенную площадь, так как
определим по теореме Пифагора:
Теперь найдем , чтобы найти :
Тогда
Отношение
Сравним теперь и .
Таким образом, .
Задача 5. В равнобедренном треугольнике ABC длина основания AC равна 2, длина боковой стороны равна 8. Точка K делит высоту BD треугольника в отношении 2:3, считая от точки B. Что больше: длина CK или длина AC?
Решение. Показать
Рисунок 4
Длина высоты :
Длина отрезка :
По теореме Пифагора определяем :
Таким образом, .
Задача 6. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 3, 4, 5.
Решение. Показать
Треугольник подчиняется теореме Пифагора, он прямоугольный. Гипотенуза его . Пусть катеты , .
Сначала вписанная окружность.
Рисунок 5
Пусть – точки касания окружности. Тогда по теореме об отрезках касательных, проведенных из одной точки, . Но длины этих отрезков равны радиусу . Тогда
Откуда
Теперь вневписанные окружности: рассмотрим сначала зеленую.
Рисунок 6
По теореме об отрезках касательных, проведенных из одной точки, , .
Но . Тогда (периметру треугольника ). Но , опять же, по свойству касательных. Тогда .
Так как , то
Теперь рассмотрим фиолетовую окружность.
, .
Но . Тогда (периметру треугольника ). Но , опять же, по свойству касательных. Тогда .
Так как , то
Наконец, последняя, самая большая.
Ответ: , , , .
Задача 7. Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Найдите длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 и 50, а их проекции на данную прямую относятся как 3 : 10.
Решение. Показать
Рисунок 7
По теореме Пифагора
Тогда
Откуда , , следовательно, .
Ответ: 40.
Задача 8. В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны и . Найдите гипотенузу треугольника.
Решение. Показать
Рисунок 8
Составим теорему Пифагора для треугольников и . Пусть , тогда
Если , то
Первое уравнение умножаем на 4, чтобы уравнять коэффициенты:
Вычитаем из него второе уравнение:
Следовательно, , катеты треугольника 6 и 8, гипотенуза, следовательно, 10.
Ответ: 10.
Задача 9. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные 5 и 12. Найдите катеты треугольника.
Решение. Показать
Рисунок 9
По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем: , , . Тогда
По теореме Виета получаем корни: 3 и (-20). По условию устраивает положительный корень. Катеты равны тогда 8 и 15.
Ответ: 8 и 15.
Конспект урока геометрии «Теорема Пифагора», 8 класс
Конспект урока по математике 8 класс «Теорема Пифагора».
Учитель математики Зайцева Татьяна Евгеньевна. Место работы МБОУ СОШ № 13, г.Новосибирск.
Аннотация: разработка урока по геометрии в 8 классе на тему «Теорема Пифагора». Закрепления учебного материала, применение теоремы Пифагора в решении практических задач.
Тема урока «Теорема Пифагора»
Цель: 1. Закрепить умение применять теорему Пифагора и теорему, обратную теореме Пифагора, при решении прикладных задач. 2. Развить самостоятельность и познавательный интерес в изучении геометрии, логическое мышление и навыки самоконтроля. 3. Воспитать культуру математической речи, уважительное отношение к мнению окружающих. Задачи: 1) Помогать учащимся в формировании умений и навыков работы с дополнительной информацией, умений обобщать и самостоятельно делать выводы. 2) Продолжить формировать навыки анализа, умения строить доказательства при изучении теоремы. 3) Помогать учащимся в нахождении значений применяемости теоремы для человечества в быту, строительстве в разные эпохи существования человечества. 4) Воспитывать эстетический вкус у учащихся через восприятие картин и красоты; 5) Помогать в развитии у учащихся познавательного интереса к изучению геометрии; 5) Продолжить формирование умений представлять результаты своей работы. Тип урока: урок закрепления полученных знаний Формы работы: фронтальная, групповая, индивидуальная, самостоятельная Оборудование: • персональный компьютер • мультимедийный проектор • экран • авторская презентация, подготовленная с помощью Microsoft Power Point • CD – диск, мультимедийный курс «ПЛАНИМЕТРИЯ», серия «Открытая математика» ФИЗИКОН (www.physicon.ru), полный интерактивный курс математики для общеобразовательных учреждений России, ВЕРСИЯ 2.5 • карточки с заданиями Структура урока 1. Организационный момент 2. Актуализация имеющихся знаний обучающихся по теме (формулировка и доказательство теоремы Пифагора, решение задач по готовым чертежам) 3. Сообщения обучающихся (историческая справка, рассмотрение классических доказательств теоремы Пифагора) 4. Решение практических и древних задач 5. Проверочная работа с самоконтролем 6. Итог урока. Рефлексия 7. Домашнее задание ХОД УРОКА: 1. Организационный момент урока:
приветствие, проверка готовности к уроку (рабочих тетрадей, учебников, письменных принадлежностей). Тема урока слайд 1, цель урок слайд 2, план урока слайд 3 .
(1-2 минуты)
2.
Актуализация знаний, полученных учащимися на предыдущем уроке(5 минут)
: • Формулировка теоремы Пифагора; слайд 4 • Формулировка теоремы, обратной теореме Пифагора слайд 5
Доказательство теоремы Пифагора можно осуществить с помощью мультимедийного диска «ПЛАНИМЕТРИЯ», версия 2.5, серия «ОТКРЫТАЯ МАТЕМАТИКА» Физикон. (Модели. 5.2. Доказательство теоремы Пифагора)
Данная модель иллюстрирует геометрическое доказательство теоремы Пифагора. С помощью мыши можно выбрать произвольный прямоугольный треугольник. В режиме «Демонстрация» модель автоматически показывает геометрическое доказательство теоремы Пифагора. В режиме «Доказать самостоятельно» Вы можете сделать необходимые для доказательства самостоятельные построения, меняя положения треугольников в квадрате.С целью актуализации знаний обучающимся предлагаются задачи по готовым чертежам. 2.1. Слайд 6. Найти неизвестную сторону треугольника.
2.2. Слайд 7. Решите задачу (нахождение периметра ромба с использованием теоремы Пифагора)
2.3. Слайд 8. Задача на применение теоремы, обратной теореме Пифагора
3. Сообщения учащихся (5-7 минут). 3.1. Экскурс в историю. Знакомство с жизнью и достижениями великого ученого. История открытия теоремы Пифагора. 3.2. Обучающимся предлагается сравнить предложенное доказательство с доказательством, рассмотренным на предыдущем уроке, выявить сходства и различия. 4. Закрепление теоремы Пифагора при решении практических и древних задач (10-15 минут). Работа в парах с последующей проверкой. 4.1. Задача №1 (слайд 9) «Древнерусская задача». Условие задачи разбирается устно, чертеж и решение учащиеся записывают в тетрадях. (Ответ: 44 стопы)
.
4.2.
Задача №2 (слайд 10) «Тополь у реки» — для устного решения. (Ответ: 8 футов).
4.3. Задача №3 (слайд 11). Нахождение длины главной аллеи Центрального парка города Новосибирска.
Условие задачи разбирается устно, чертеж и решение учащиеся записывают в тетрадях, 1 ученик работает у доски. (Ответ: 412 м).
4.4.
Задача № 4 (мультимедийный CD – диск, ПЛАНИМЕТРИЯ) Содержание. ГЛАВА 5. Решение треугольников.5.1. Прямоугольный треугольник. Задачи. Задача № 6.
5. Самостоятельная работа с самоконтролем (15 минут). Учащимся предлагается ТЕСТ, карточки (см. приложение) с заданиями на 2 варианта. Фамилию и ответы учащиеся записывают на карточках, а краткое решение в тетрадях.
6. Итог урока. Рефлексия (3-5 минут). (слайд 12) В конце урока подводится его итог, обсуждение того, что узнали, и того, как работали – т.е. каждый оценивает свой вклад в достижение поставленных в начале урока целей, свою активность, эффективность работы класса, увлекательность и полезность выбранных форм работы. Ребята высказываются одним предложением, выбирая начало фразы из рефлексивного экрана на доске: сегодня я узнал… было интересно… было трудно… я выполнял задания… я понял, что… теперь я могу… я почувствовал, что… я приобрел… я научился… у меня получилось … я смог… я попробую… меня удивило… урок дал мне для жизни… мне захотелось…7. Домашнее задание. 1. Фронтон Большого театра в Москве имеет форму равнобедренного треугольника с боковыми сторонами по 21,5 м и основанием 42 м (размеры приближены). Вычислите площадь фронтона. 2. Найдите ещё одно доказательство теоремы Пифагора (по выбору).
Рекомендуем посмотреть:
Кроссворд по геометрии с ответами для 8 класса Конспект урока алгебры по теме «Квадратные уравнения» с использованием интерактивного учебного пособ Внеклассное мероприятие по математике, 7-9 класс Многоуровненвая система учебно — тренеровочных задач по теме: Дробно-рациональные уравнения, 8 клас
Похожие статьи:
Программа факультатива по математике, 8-9 класс
Олимпиада по математике в 8 классе с решением
Конспект урока по алгебре в 8 классе. Решение квадратных уравнений
Открытый урок по алгебре в 8 классе «Решение квадратных уравнений по формуле»
Урок алгебры в 8 классе. Тема урока: «Решение задач с помощью рациональных уравнений»
