Конспект урока «Элементы комбинаторики. Комбинаторные правила суммы и произведения»

Комбинаторика и ее основные принципы

Очень часто приходится решать задачи, в которых надо посчитать количество возможных вариантов для той или иной ситуации. Например, сколько позиций может возникнуть на шахматной доске после первого хода обоих игроков? Сколько разных паролей длиною в десять символов можно записать, если ни один символ не использовать дважды? Сколько разнообразных комбинаций чисел может выпасть при игре в лотерею «6 из 49»? На все эти вопросы помогает ответить специальный раздел математики, называемый комбинаторикой. Почти всегда комбинаторную задачу можно сформулировать так, чтобы ее вопрос начинался словами «сколькими способами…».

Очевидно, что если в конечном множестве содержится n элементов, то есть ровно n способов выбрать один из них.

Пример. В классе 15 человек. Сколькими способами учитель может назначить одного из них ответственным за чистоту доски?

Ответ. Таких способов ровно 15.

В комбинаторике существует два основных правила. Первое из них называется правилом сложения.

Несмотря на формулировку, по сути это очень простое правило.

Пример. В магазине продается 14 телевизоров Panasonic и 17 телевизоров Sony. Петя хочет купить один телевизор. Сколько у него вариантов покупки?

Решение. По правилу сложения Петя может выбрать один из 14 + 17 = 31 телевизоров.

Ответ: 31 телевизор.

Особое значение имеет второе правило, которое называют правилом умножения.

Проиллюстрируем это правило.

Пример. В секции бадминтона 15 мальчиков и 20 девочек. Тренер должен отправить на соревнования смешанную пару. Сколько вариантов действий у него?

Решение. Тренер может составить 15•20= 300 разнополых пар из своих воспитанников.

Ответ: 300

Пример. Пете нужно купить технику для компьютера. В магазине продается 20 различных клавиатур, 25 моделей геймпадов и 30 компьютерных мышей. Купить надо по одному экземпляру каждого из этих устройств. Сколько вариантов покупки есть у него?

Решение. Сначала подсчитаем число возможных пар «клавиатура-геймпад». Их количество равно 20•25 = 500. Теперь составим «тройку» из одной из 500 пар и одной из 30 мышей. Число троек равно 500•30 = 15000.

Ответ: 15000

Правила сложения и умножения можно комбинировать.

Пример. Сколько слов не более чем из трех букв можно составить, используя алфавит, содержащий ровно 30 букв?

Решение. Очевидно, что слов из одной буквы можно составить ровно 30. Количество двухбуквенных слов равно количеству пар, которые можно составить из этих букв, то есть 30•30 = 900. Трехбуквенных слов можно составить 30•30•30 = 27000. Всего же слов длиною не более 3 букв будет

30 + 900 + 27000 = 27930

Ответ: 27930

Далее мы изучим основные понятия комбинаторики – перестановки, размещения, сочетания.

Конспект урока «Элементы комбинаторики. Комбинаторные правила суммы и произведения»

11 класс

Тема. Элементы комбинаторики. Комбинаторные правила суммы и произведения.

«Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи». Дж. Сильвестр

Цель урока: ознакомить

учащихся с предметом изучения комбинаторики и комбинаторными правилами суммы и произведения; формировать умение решать комбинаторные задачи при помощи правил суммы и произведения;
развивать
логическое мышление, память, внимание;
воспитывать
математическую грамотность, настойчивость, аккуратность.

Ожидаемые результаты: учащиеся должны знать, что изучает комбинаторика; понимать, как применять правила суммы и произведения.

Оборудование: учебник, проектор.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания; актуализация опорных знаний

С классом проводится фронтальная беседа по вопросам 1-7 стр. 134 §17

1. Приведите пример множества.
(Множество планет, государств, песен, партий, уравнений, функций, точек, чисел, фигур и т.п.)
2. Как обозначают множества и их элементы?

Объект, принадлежащий множеству, называют его элементом

.

Множества принято обозначать

прописными буквами латинского алфавита, а его
элементы
– строчными.
Иногда
для обозначения множества
используют фигурные скобки
.

3. Какие бывают множества?

Множества бывают

конечные и бесконечные (по числу элементов). Множество фигур, цифр – конечные; множество натуральных, целых, рациональных, действительных чисел; множество точек на прямой или отрезке, множество действительных чисел на промежутках [2; 3], (-6; +∞) – бесконечные.

Какое множество называют пустым?

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют
пустым
и обозначают символом
.
4. Какие множества называют равными?

Если множества состоят из одних и тех же элементов, то такие множества называются
равными
.

5. Что такое подмножество?

Если А – часть множества В, то его называют
подмножеством
множества В и записывают АВ.

6. Что такое объединение двух множеств?

Множество, содержащее каждый элемент каждого из множеств а и В и только их, называется объединением множеств А и В. Если К – объединение множеств А и В, то пишут: АВ = К.

7. Что такое пересечение двух множеств?

Если множество Р содержит все общие элементы множеств А и В и только их, то множество Р называют пересечением множеств А и В. Записывают это так: АВ = Р.

8. Что называют разностью множеств А и В?

Разностью множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. Его обозначают: АВ.

Множество

– понятие первичное, ему не дается определение. Например, множество учащихся класса; множество букв алфавита; множество натуральных чисел и т. д. В математике любые совокупности называют одним словом: множество.

Упражнения:

1.

Как называется: 1) множество цветов в вазе?; 2) множество музыкантов, выступающих вместе; 3) множество точек пространства, равноудаленных от данной точки?

2.

Приведите примеры множеств, имеющих: 1) 3 элемента; 2) 7 элементов; 3) 10 элементов.

Ответ:

1) множество цветов светофора; 2) множество дней недели; множество цветов радуги; множество нот; 3) множество цифр.

3.

Даны множества А = {1; 2; 3; 4; 5} и B = {3; 4; 5; 6; 7}.

Найти: 1) 2) 3)

Ответ:

1) 2) 3)

4.

Что можно сказать о множествах А={▲, ■, ●} и B={●, ▲, ■}?

5.

Запишите все подмножества множества А={▲, ■, ●}.

Ответ:

{▲}, {■}, {●}, {▲, ■}, {▲, ●}, {■, ●}, {▲, ■, ●}, ∅.

Индивидуально:

К-1

1. Записать множество, перечислив его элементы: А={x | x Є N, -3≤x<7}.
2. Записать все подмножества множества М={a; b; c}.
3. Дано: A={3; a; b; c; 5}; B={5; d; 7; b }. Найти: 1)
4. Дано: A={x | x2-5x+6=0}; B={x2-3x+2=0}. Найти: 1)
5. Найти пересечение и объединение множеств А и В, если

К-2

1. Записать множество, перечислив его элементы: А={x | x Є Z, -4≤x<5}.
2. Записать все подмножества множества N={3; 5; 7}.
3. Дано: A={k; m; c; 7; 5}; B={7; d; 6; m}. Найти: 1)
4. Дано: A={x | x2-3x+2=0}; B={x2-7x+10=0}. Найти: 1)
5. Найти пересечение и объединение множеств А и В, если

III. Формулирование темы, цели и задач урока; мотивация учебной деятельности

В повседневной жизни часто приходится выбирать что-либо из большого количества вариантов. Например, сколькими способами можно расположить в турнирной таблице 10 футбольных команд, если никакие две из них не набрали поровну очков?

Сколькими способами можно составить расписание на день из шести различных предметов для одного класса, если изучается 12 предметов?

Оказывается, подобные задачи имеют общие методы решения, с которыми вы познакомитесь при изучении комбинаторики.

IV. Восприятие и осознание нового материала

Говоря «множество», «подмножество»,

порядком расположения их элементов не интересуются. Говорят, что они не упорядоченные. Кроме них, нередко рассматривают и
упорядоченные множества
– множества с фиксированным порядком элементов. Их
обозначают
круглыми скобками.

Часто приходится рассматривать упорядоченные множества

, т.е. множества, в которых каждый элемент занимает свое, вполне определенное место.
Упорядочить множество
– это значит поставить, какой-либо элемент множества на первое место, какой-либо другой элемент – на второе место и т.д.

Например, из элементов множества {a, b, c}можно образовать 6

трехэлементных упорядоченных множеств:

(a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a).

Как множества все они равные, как упорядоченные множества – разные.

Существуют задачи, в которых нужно определить, сколько разных подмножеств или упорядоченных подмножеств можно образовать из элементов данного множества. Их называют
комбинаторными задачами.А раздел математики о решении комбинаторных задач называюткомбинаторикой.
Комбинаторика

– один из разделов математики, играющий важную роль при решении некоторых современных проблем теории вероятностей, кибернетики, математической логики, теории чисел. Знание комбинаторики необходимо представителям самых разных специальностей. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам, специалистам по теории кодов. Здесь мы познакомимся с основными понятиями и методами комбинаторики.

Много задач комбинаторики решаются с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения.

Правило суммы
Если элемент некоторого множества А можно выбратьтспособами, а элемент множества В —пспособами, то элемент из множества А или из В можно выбратьт+пспособами.
Правило суммы распространяется и на большее количество множеств.

Например,

на тарелке лежат 5 яблок и 9 груш. Один плод можно выбрать 5 + 9=14 способами.

Правило произведения
Если первый компонент пары можно выбратьтспособами, а второй —пспособами, то такую пару можно выбратьспособами.
Например,

из 6 видов конвертов без марок и 5 видов марок один конверт и одну марку можно выбрать 65=30 (способами).

Правило произведения распространяется и на упорядоченные тройки, четверки и любые другие упорядоченные конечные множества.
В частности, если первый элемент упорядоченной тройки можно выбратьтспособами, второй —пспособами, а третий –kспособами, то такую тройку можно выбратьmnkспособами.
V. Осмысление нового материала

Коллективное решение задач под руководством учителя

1.

В классе 15 мальчиков и 12 девочек. Сколькими способами можно выбрать: а) мальчика; б) девочку; в) одного ученика этого класса; г) двух учеников – мальчика и девочку?

(Ответ:

а) 15 способами; 6) 12 способами; в) 27 способами; г) 180 способами

2.

В коробке находятся 12 белых и 16 черных шаров. Сколькими способами можно вынуть: а) один шар любого цвета; б) два разноцветных шара?
Решение.
а) По правилу суммы один шар любого цвета можно вынуть 12+16=28 (способами); б) по правилу произведения два разноцветных шара можно вынуть 1612 =192 (способами).

Ответ:

а) 28 способами; 6) 192 способами.

3.

В классе 15 мальчиков и 12 девочек. Уже выбрали одного ученика. Сколькими способами после этого можно выбрать девочу и мальчика?
Решение.
Один ученик уже выбран. Тогда: а) если был выбран мальчик, то мальчиков осталось 14 и существует 14 вариантов выбора, а для девочек 12 вариантов, тогда мальчика и девочку можно выбрать 1412=168 (способами); б) если была выбрана девочка, то их осталось 11 и тогда вариантов выбора 1115=165. Итак, по правилу суммы: 168 +165 = 333 (способами).

Ответ:

333 способами.

4.

Есть ткани пяти разных цветов. Сколькими способами можно сшить трехцветный флаг?
Решение.
Первый цвет можно выбрать пятью способами. Второй — четырьмя, третий — тремя. По правилу произведения трехцветный флаг можно сшить 543=60 (способами).
Ответ:
60 способами.

5.

Сколько четырехзначных чисел, делящихся на пять, можно составить из цифр 0, 1,
2,
3, 5, если в каждом числе ни одна из цифр не повторяется?
Решение.
Последняя цифра составленного числа должна быть 0 или 5 (признак делимости на 5). Тогда для выбора последней цифры возможны два варианта.

Первую цифру можно выбрать четырьмя способами, вторую — тремя, третью — двумя.

Значит, четырехзначных чисел будет 2432 =48,

но необходимо исключить те, которые начинаются нулем, а значит, заканчиваются 5.

Вторую цифру в них можно выбрать тремя способами, третью — двумя.

То есть их будет 23 = 6. Значит, чисел, удовлетворяющих условию, будет 48–6=42.

Ответ:

42 числа.

(II-й способ)

Последняя цифра составленного числа должна быть 0 или 5 (признак делимости на 5).

Согласно правилу умножения, чисел, оканчивающихся 0, будет 4·3·2·1=24.

На первом месте не может стоять 0, значит, чисел, оканчивающихся 5 — 3·3·2·1=18.

Согласно правилу сложения, общее число способов составить из цифр 0, 1, 2,

3, 5 четырехзначное число, делящееся на 5, составляет 24+18=42.

Ответ:

42 числа.

VI. Подведение итогов урока

Фронтальная беседа

1. Что изучает комбинаторика? 2. Сформулируйте правило суммы и правило произведения, лежащие в основе решения комбинаторных задач. Приведите примеры. 3. Какое множество считается упорядоченным? Приведите пример упорядоченного конечного множества.

Индивидуально

Сколькими способами можно расставить четыре книги по алгебре и три по геометрии, чтобы все книги по геометрии стояли подряд?
(Ответ:
720.)

VII. Домашнее задание

§ 17 повторить, §18 прочитать, ответить на вопросы (стр. 140), выучить определения; выполнить № 607, 610, 623 (по учебнику Бевз Г.П. Математика 11 кл. (уровень стандарт))

Перестановки с повторениями

До этого мы рассматривали случаи, когда все переставляемые объекты были различными. Однако порою некоторые из них не отличаются друг от друга. Пусть на полке надо расставить 3 книги, но две из них одинаковые. Сколько тогда существует перестановок? Общее число перестановок 3 книг составляет 3! = 6:

Здесь одинаковые книги отмечены как А и А1. Очевидно, что 1-ый и 2-ой варианты (А1АБ) и (АА1Б) на самом деле не отличаются друг от друга. В них отличается лишь порядок одинаковых книг А и А1. В первом случае за А1 следует А, а во втором, наоборот, за А следует А1. Тоже самое можно сказать про варианты 3 и 4, 5 и 6. Получается, что все возможные перестановки можно разбить на группы, в которых находятся «перестановки-дубликаты»:

А1АБ и АА1Б

А1БА и АБА1

БА1А и БАА1

В каждой группе находится ровно по два «дубликата». Почему именно по два? Это число равно количеству перестановок одинаковых книг. Так как одинаковых томов 2, а Р2 = 2, то в каждой группе по 2 «дубликата». Действительно, если бы мы «убрали» с полки все книги, кроме повторяющихся, то там осталось бы только 2 одинаковых тома, которые можно переставить двумя способами.

Для того чтобы найти количество «оригинальных» перестановок, надо их общее количество поделить на число дубликатов в каждой группе.

6:2 = 3

Пусть теперь надо расставить 4 книги, из которых 3 одинаковы. Обозначим тома как А, А1, А2 и Б. Всего можно записать 4! = 24 перестановки. Однако каждые 6 из них будут дублировать друг друга. То есть их можно разбить на группы, в каждой из которых будет 6 идентичных «дубликатов»:

1-ая группа: БАА1А2, БАА2А1, БА1АА2, БА1А2А, БА2АА1, БА2А1А

2-ая группа: АБА1А2, АБА2А1, А1БАА2, А1БА2А, А2БАА1, А2БА1А

3-ая группа: АА1БА2, АА2БА1, А1АБА2, А1А2БА, А2АБА1, А2А1БА

4-ая группа: АА1А2Б, АА2А1Б, А1АА2Б, А1А2АБ, А2АА1Б, А2А1АБ

И снова для подсчета числа оригинальных перестановок надо из общее число расстановок поделить на количество дубликатов в каждой группе:

Р4/Р3 = 4!/3! = 24/6 = 4

Для обозначения перестановок с повторениями используется запись

Рn(n1, n2, n3,… nk)

где n – общее количество объектов, а n1, n2, n3,… nk – количество одинаковых элементов. Например, в задаче с 4 книгами мы искали величину Р4(3, 1), потому что всего книг было 4, но они были разбиты на две группы, в одной из которых находилось 3 одинаковых тома (буквы А, А1, А2), а ещё одна книга (Б) составляла вторую группу. Мы заметили, что для вычисления числа перестановок с повторениями надо общее число перестановок делить на количество дублирующих перестановок. Формула в общем случае выглядит так:

Пример. Вася решил, что ему стоит изучать только два иностранных языка. Он решил 4 дня в неделю тратить на английский, а оставшиеся три дня – на испанский. Сколько расписаний занятий он может себе составить.

Решение. Вася должен расставить 3 урока испанского и 4 урока английского, тогда n1 = 3, а n2 = 4. Общее количество уроков равно 3 + 4 = 7. Тогда

Ответ: 35

Обратите внимание, что для удобства при делении факториалов мы не вычисляли их сразу, а пытались сократить множители. Так как в ответе любой комбинаторной задачи получается целое число, то весь знаменатель дроби обязательно сократится с какими-нибудь множителями в числителе.

Пример. У мамы есть 3 яблока, 2 банана и 1 апельсин. Эти фрукты она распределяет между 6 детьми. Сколькими способами она может это сделать, если каждый должен получить по фрукту?

Решение. Всего есть три группы фруктов. В первой находится 3 яблока, поэтому n1 = 3. Во второй группе 2 банана, поэтому n2 = 2. В третьей группе только 1 апельсин, поэтому nk = 1. Общее число фруктов равно 6. Используем формулу:

Ответ: 60

В знаменателе формулы для перестановок с повторениями мы записываем число объектов в каждой группе одинаковых предметов. Так, если переставляются 3 яблока, 2 банана и 1 апельсин, то в знаменателе мы пишем 3!•2!•1!. Но что будет, если в каждой группе будет находиться ровно один уникальный объект? Тогда мы запишем в знаменателе произведение единиц:

В итоге мы получили ту же формулу, что и для перестановок без повторов. Другими словами, перестановки без повтора могут рассматриваться просто как частный случай перестановок с повторами.

Размещения

Пусть в футбольном турнире участвуют 6 команд. Нам предлагают угадать те команды, которые займут призовые места (то есть первые три места). Сколько вариантов таких троек существует?

Сначала запишем ту команду, которая выиграет турнир. Здесь есть шесть вариантов, по количеству участвующих команд. Запишем эти варианты:

Далее выберем один из вариантов и для него укажем серебряного призера соревнований. Здесь есть только 5 вариантов, ведь 1 из 6 команд уже записана на 1-ом месте:

Такую пятерку можно записать для каждого из шести вариантов того, кто станет чемпионом. Получается, что всего есть 6•5 = 30 пар «чемпион – серебряный призер». Наконец, для одной такой пары можно записать 4 варианта того, кто окажется третьим (две команды писать нельзя, так как они уже записаны на первых двух строчках):

Для каждой пары можно записать 4 тройки призеров. Так как число пар «чемпион – вице-чемпион» равно 6•5 = 30, то число троек составит 6•5•4 = 120.

В данном случае из некоторого множества команд мы выбрали несколько и расположили их в каком-то порядке. То есть мы выбрали упорядоченное множество. В комбинаторике оно называется размещением.

Если общее число команд обозначить как n (в этом примере n = 6), а количество упорядочиваемых команд равно k, то количество таких размещений в комбинаторике обозначается как

В примере с командами количество размещений равнялось 120:

Читается эта запись как «число размещений из 6 по 3 равно 120».

Для нахождения этого числа мы перемножили k (3)множителей. Первый из них был равен n(6), так как каждая из n команд могла занять первая место. Второй множитель был равен (n– 1), так как после определения чемпиона мы могли поставить на вторую позицию одну из (n– 1) команд. Третий множитель был равен (n– 2). По этой логике каждый следующий множитель будет меньше предыдущего на единицу. Например, чтобы вычислить число размещений из 7 по 4, надо перемножить 4 множителя, первый из которых равен 7, а каждый следующий меньше на 1:

Однако математически удобнее представлять это произведение как отношение двух факториалов. Для этого умножим количество размещений на дробь 3!/3!, равную единице. Естественно, число размещений из-за умножения на единицу не меняется:

Число 3 в данном случае можно получить, если из 7 вычесть 4. В общем случае из числа n надо вычесть число k. Тогда формула для вычисления количества размещений примет вид:

Пример. В программе 8 «А» класса 12 различных предметов. В понедельник проводится 5 занятий подряд. Сколько существует вариантов расписаний для класса, если в течение понедельника нельзя проводить два одинаковых урока?

Решение. Для составления расписания нужно выбрать 5 предметов и расставить их по порядку. Поэтому нам необходимо найти размещение из 12 по 5:

Ответ: 95040

Пример. В вагоне 10 свободных мест. В него зашло 6 пассажиров. Сколькими способами они могут расположиться в вагоне?

Решение. Из десяти мест надо выбрать шесть и указать для каждого, какому пассажиру оно соответствует. То есть каждый вариант рассадки пассажиров – это размещение из 10 по 6. Найдем их количество:

Ответ: 151200

Заметим, что перестановка – это частный случай размещения, когда k = n. Действительно, если нам надо указать тройку призеров турнира, в котором участвуют 6 команд, то мы указываем размещение из 6 по 3. Но если мы указываем для каждой из 6 команд, какое место она займет в чемпионате, то это размещение из 6 по 6. С другой стороны, это расстановка одновременно является и перестановкой 6 команд. Убедимся, что в этом частном случае формула для подсчета количества размещений покажет тот же результат, что и формула для перестановок

Для примера с 6 командами это будет выглядеть так:

Здесь мы использовали тот факт, что факториал нуля принимается равным единице. Данное рассуждение можно, наоборот, использовать для того, чтобы доказать, что факториал нуля – это единица.

Основные понятия теории вероятностей

Основными понятиями теории вероятностей являются понятия события и вероятности события.

Готовые работы на аналогичную тему

• Курсовая работа Элементы комбинаторики и теории вероятностей 420 руб.
• Реферат Элементы комбинаторики и теории вероятностей 230 руб.
• Контрольная работа Элементы комбинаторики и теории вероятностей 190 руб.

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту Узнать стоимость

Определение 4

Событием будем называть любое утверждение, которое может как произойти, так и не произойти.

Обычно события обозначаются большими английскими буквами.

Пример: $A$ – выпадение числа $6$ на кости.

В связи с тем, что событие может иметь две вариации исхода («произошло» и «не произошло») мы сталкиваемся с понятие вероятности такого события. Это понятие имеет $4$ основных определения.

Классическое определение.

Классическое определение связано с такими неопределяемыми понятиями как равновозможность и элементарность события. Интуитивно их можно понять на следующих примерах:

Равновозможность: При подбрасывании монеты она может упасть как аверсом, так и реверсом независимо от внешних условий. То есть можно сказать что вероятность выпадения одной или другой стороны по сути одинакова.

Элементарность события: Если на кости выпадет число $4$, то это означает, что числа $1, 2, 3, 5$ и $6$ уже не выпали.

Лень читать?

Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут!

Задать вопрос

Определение 5

Вероятностью события будем называть отношения числа $n$ равновозможных элементарных событий исходного события $B$ ко всем элементарным событиям $N$.

Математически это выглядит следующим образом:

$P(B)=\frac{n}{N}$

Геометрическое определение.

Геометрическое определение применяется для случая, когда количество равновозможных событий будет бесконечно. Здесь, для введения геометрического определения рассмотрим следующий пример. Для игры дартс берем круг площадью $S$ и разбиваем его на несколько кругов. Какова вероятность, что дротик попадет в центральный круг? (Исключим здесь случаи полного непопадания в поле). Очевидно что равновозможных событий здесь будет бесконечно (как и общих событий) так как круг содержит в себе бесконечное число точек.

Пусть площадь центрального круга равняется $s$. Тогда мы сталкиваемся с геометрическим определением вероятности такого события:

$P(B)=\frac{s}{S}$

Статистическое (частотное) определение.

Классическое определение довольно часто не учитывает всех возможностей. Рассматривая даже классический пример с бросанием кости мы пренебрегаем возможностью, что не выпадет никакого из шести чисел (кубик просто «остановится» на уголке). Поэтому вводят следующее определение вероятности, учитывающее все возможности. Рассматриваем $N$ наблюдений. Пусть нужное нам событие при этом выпало $n$ раз. Тогда

$P(B)=lim_{N→∞}⁡\frac{n}{N}$

Аксиоматическое определение.

Данное определение задается с помощью аксиоматики Колмогорова.

Пусть $X$ — пространство всех элементарных событий. Тогда

Определение 6

Вероятностью события $B$ будем называть такую функцию $P(B)$, которая удовлетворяет следующим условиям:

1. Данная функция всегда неотрицательна,
2. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из попарно несовместных событий равняется сумме их вероятностей.
3. Функция всегда меньше или равна $1$, причем $P(X)=1$.